KURZUS: Matematika 2.

MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai

4. lecke: Taylor polinom

Tanulási cél: Megismerni a Taylor- és Maclaurin polinom fogalmát, valamint ezek alkalmazását közelító értékek kiszámolására.

Elméleti összefoglaló

Sokszor találkozunk a gyakorlatban olyan bonyolult függvényekkel, melyekkel a számolás nehézkes. Ilyenkor érdemes a bonyolult függvényt egyszerűbbel közelíteni, amely valamilyen értelemben jól közelíti az eredetit. Célszerűnek tűnik a hatványfüggvényekkel való közelítés, mivel azokkal könnyű dolgozni.

Egy függvény lineáris közelítésére egy adott pont környezetében már láttunk példát egy függvény adott pontjába húzott érintő egyenese kapcsán a Matematika 1. tárgyban.

A lineáris közelítésnél (érintő egyenesnél) jobb közelítést nyerhetünk egy adott pont környezetében magasabbfokú polinomokkal. Erre mutat példát a következő ábra, melyen a cosx  függvényt közelítettük első-, harmad-, ötödfokú polinommal a π 2  környezetében.

A cosx  függvény közelítése első-, harmad-, ötödfokú polinommal a π 2  környezetében
4.1. ábra

Definíció: Legyen az f  olyan függvény, mely értelmezett az a  rögzített hely egy környezetében, s ott n-szer folytonosan differenciálható. Ekkor a

T n f(x)=f( a )+ 1 1! f ( a )( xa )+ 1 2! f ( a ) ( xa ) 2 +.    .    .+ 1 n! f ( n ) ( a ) ( xa ) n

polinomot az f  függvény a  helyen vett n-edfokú Taylor-polinomjának nevezzük.

(A nulladik derivált magát a függvényt jelenti, azaz f ( 0 ) ( a )=f( a ) , és 0!=1 .)

Észrevehetjük, hogy az elsőfokú Taylor-polinom pontosan az f  függvény a  helyen vett érintő egyenesének egyenletét adja: T 1 f(x)=f( a )+ 1 1! f ( a )( xa )=f( a )+ f ( a )( xa ) . (Az érintő egyenes egyenletét lásd Matematika 1. tárgy Differenciálszámítás bevezetése című leckében.)

A Taylor-polinom közelíti az eredeti függvényt. Minél közelebb van x  az a-hoz, és minél magasabb a polinom rendje, a közelítés általában annál jobb.

Ha a=0 , azaz a függvényt a=0  környezetében közelítjük, akkor Maclaurin-polinomról beszélünk.

M n f(x)=f(0)+ 1 1! f (0)( x0 )+ 1 2! f (0) ( x0 ) 2 ++ 1 n! f (n) (0) ( x0 ) n = =f(0)+ 1 1! f (0)x+ 1 2! f (0) x 2 ++ 1 n! f (n) (0) x n

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Írjuk fel az f(x)= e 2x  függvény másodfokú Maclaurin-polinomját!

Megoldás: A megoldásban induljunk el a Maclaurin-polinom definíciójából, miszerint egy függvény n-edfokú Maclaurin-polinomjának nevezzük, a 0  helyen vett n-edfokú Taylor-polinomot, mely az alábbi módon írható fel.

M n f(x)=f(0)+ 1 1! f (0)x+ 1 2! f (0) x 2 ++ 1 n! f (n) (0) x n

Mivel feladatunkban másodfokú polinomot kell felírnunk, így n=2 , s így a polinomban csupán három tag fog szerepelni.

M 2 f(x)=f(0)+ 1 1! f (0)x+ 1 2! f (0) x 2

Természetesen a konkrét Maclaurin-polinom felírásához meg kell határoznunk a képletben szereplő f(0) , f (0)  és f (0)  értékeket.

Elsőként helyettesítsük a függvénybe a 0-t.

f(0)= e 20 = e 0 =1

Ezután állítsuk elő a függvény deriváltját, és határozzuk meg a derivált helyettesítési értékét is a 0  helyen.

f (x)= e 2x (2)=2 e 2x

A deriválás során ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvényt deriválunk, így a külső függvény deriválása után szoroznunk kell még a belső függvény deriváltjával is.

Hajtsuk végre a 0  behelyettesítését.

f (0)=2 e 20 =2 e 0 =2

Állítsuk elő a második deriváltat.

f (x)=2 e 2x (2)=4 e 2x

Helyettesítsük ebbe is a 0-t.

f (0)=4 e 20 =4 e 0 =4

Utolsó lépésként helyettesítsük be a meghatározott f(0) , f (0)  és f (0)  értékeket a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után határozzuk meg a faktoriálisok értékét, és egy-egy tagban szorozva a konstansokat, hozzuk egyszerűbb alakra a polinomot.

M 2 f(x)=1+ 1 1! (2)x+ 1 2! 4 x 2 =1+ 1 1 (2)x+ 1 2 4 x 2 =

=12x+2 x 2

Az alábbi ábra jól szemlélteti, hogy milyen módon közelíti az eredeti függvényt a számolt másodfokú Maclaurin polinom.

Az f(x)= e 2x  függvény másodfokú Maclaurin-polinommal való közelítése
4.2. ábra

2. feladat: Írjuk fel az f(x)= x+1 3  függvény másodfokú Maclaurin-polinomját!

Megoldás: Itt is elindulhatunk a másodfokú Maclaurin-polinom definíciójából.

M 2 f(x)=f(0)+ 1 1! f (0)x+ 1 2! f (0) x 2

Most is elő kell állítanunk az f(0) , f (0)  és f (0)  értékeket.

Helyettesítsük be elsőként a függvénybe a 0-t.

f(0)= 0+1 3 =1

Ezután állítsuk elő a függvény deriváltját. A deriválás előtt célszerű átalakítani a függvényt. A gyök helyett írjunk törtkitevős hatványt.

f(x)= x+1 3 = (x+1) 1 3

Ebből az alakból már egyszerű a deriválás.

f (x)= 1 3 (x+1) 2 3

Helyettesítsük be a deriváltba a 0-t.

f (0)= 1 3 (0+1) 2 3 = 1 3

Állítsuk elő a második deriváltat is.

f (x)= 1 3 ( 2 3 ) (x+1) 5 3 = 2 9 (x+1) 5 3

Határozzuk meg a második derivált 0  helyen vett helyettesítési értékét.

f (0)= 2 9 (0+1) 5 3 = 2 9

Végül a meghatározott f(0) , f (0)  és f (0)  értékeket helyettesítsük be a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után hozzuk egyszerűbb alakra a polinomban az együtthatókat.

M 2 f(x)=1+ 1 1! 1 3 x+ 1 2! ( 2 9 ) x 2 =1+ 1 1 1 3 x+ 1 2 ( 2 9 ) x 2 =

=1+ 1 3 x 1 9 x 2

A másodfokú Maclaurin polinommal való közelítést szemlélteti a következő ábra.

Az f(x)= x+1 3  függvény másodfokú Maclaurin-polinommal való közelítése
4.3. ábra

3. feladat: Határozzuk meg az f( x )= 1 32x  függvény harmadfokú Maclaurin-polinomját!

Megoldás: Induljunk ki a Maclaurin-polinom definíciójából.

M 3 f(x)=f( 0 )+ 1 1! f ( 0 )x+ 1 2! f ( 0 ) x 2 + 1 3! f ( 0 ) x 3

Állítsuk elő a szükséges deriváltakat, és határozzuk meg a függvény, valamint a deriváltak értékét a nulla helyen. A deriválások egyszerűbbek ha a függvényt átalakítjuk, mert akkor tört helyett összetett függvényünk lesz.

f( x )= 1 32x = ( 32x ) 1                         f( 0 )= 3 1 = 1 3

f ( x )=( 1 ) ( 32x ) 2 ( 2 )=2 ( 32x ) 2                          f ( 0 )=2 3 2 = 2 9

f ( x )=( 4 ) ( 32x ) 3 ( 2 )=8 ( 32x ) 3                          f ( 0 )=8 3 3 = 8 27

f ( x )=( 24 ) ( 32x ) 4 ( 2 )=48 ( 32x ) 4                          f ( 0 )=48 3 4 = 48 81

A kapott értékeket helyettesítsük be a polinomba.

M 3 f( x )= 1 3 + 1 1! 2 9 x+ 1 2! 8 27 x 2 + 1 3! 48 81 x 3 = 1 3 + 2 9 x+ 4 27 x 2 + 8 81 x 3

A közelítést a következő ábra szemlélteti.

Az f( x )= 1 32x  függvény harmadfokú Maclaurin-polinommal való közelítése
4.4. ábra

4. feladat: Írjuk fel az f(x)=sin2x  függvény a= π 4  helyen vett másodfokú Taylor-polinomját!

Megoldás: A definícióból indulunk el, mely szerint az f(x)  függvény a  helyen vett n-edfokú Taylor-polinomja a következő:

T n f(x)=f(a)+ 1 1! f (a)(xa)+ 1 2! f (a) (xa) 2 ++ 1 n! f (n) (a) (xa) n .

Mivel másodfokú polinom a kérdés, így n=2 .

T 2 f(x)=f(a)+ 1 1! f (a)(xa)+ 1 2! f (a) (xa) 2

Annyiban változik tehát csak a dolgunk az előzőekhez képest, hogy nem a 0  helyen kell meghatároznunk a függvény, valamint első és második deriváltjának értékét, hanem az a= π 4  helyen.

Helyettesítsünk először a függvénybe.

f( π 4 )=sin( 2 π 4 )=sin π 2 =1

Állítsuk elő a függvény deriváltját. Figyeljünk oda, mert összetett függvényről van szó, ne felejtsünk el szorozni a belső függvény deriváltjával.

f (x)=cos2x2=2cos2x

Helyettesítsünk most a deriváltba is.

f ( π 4 )=2cos( 2 π 4 )=2cos π 2 =0

Ezután deriváljunk még egyszer.

f (x)=2(sin2x)2=4sin2x

A második deriváltba is helyettesítsük be az a= π 4  értéket.

f ( π 4 )=4sin( 2 π 4 )=4sin π 2 =4

Az előzőekben meghatározott f(a) , f (a)  és f (a)  értékeket írjuk be a Taylor-polinom képletébe, s egyben helyettesítsünk a  helyére is.

T 2 f(x)=1+ 1 1! 0( x π 4 )+ 1 2! (4) ( x π 4 ) 2

Végül hozzuk egyszerűbb alakra a polinom együtthatóit.

T 2 f(x)=1+ 1 2 (4) ( x π 4 ) 2 =12 ( x π 4 ) 2

A szemléltetést a következő ábra segíti.

Az f(x)=sin2x  függvény másodfokú Taylor-polinommal való közelítése az a= π 4  környezetében
4.5. ábra

5. feladat: Írjuk fel az f(x)=ln3x  függvény a= 1 3  helyen vett másodfokú Taylor-polinomját!

Megoldás: Most is a másodfokú Taylor-polinom definícióját használjuk fel.

T 2 f(x)=f(a)+ 1 1! f (a)(xa)+ 1 2! f (a) (xa) 2

Határozzuk meg a polinomban szereplő, egyelőre ismeretlen f(a) , f (a)  és f (a)  értékeket.

Helyettesítsük elsőként a függvénybe az a= 1 3 -ot.

f( 1 3 )=ln( 3 1 3 )=ln1=0

Deriváljuk a függvényt.

f (x)= 1 3x 3= 1 x

Helyettesítsünk be a deriváltba is a  helyére 1 3 -ot.

f ( 1 3 )= 1 1 3 =3

Állítsuk elő a második deriváltat.

f (x)= 1 x 2

Helyettesítsük a második deriváltba is az a= 1 3 -ot.

f (x)= 1 ( 1 3 ) 2 =9

Majd a Taylor-polinom képletében helyettesítsünk a, f(a) , f (a)  és f (a)  helyére.

T 2 f(x)=0+ 1 1! 3( x 1 3 )+ 1 2! (9) ( x 1 3 ) 2

Végül írjuk egyszerűbb alakban a polinom együtthatóit.

T 2 f(x)=3( x 1 3 ) 9 2 ( x 1 3 ) 2

Jelen esetben a Taylor polinommal való közelítést a következő ábra szemlélteti.

Az f(x)=ln3x  függvény másodfokú Taylor-polinommal való közelítése az a= 1 3  környezetében
4.6. ábra

6. feladat: Írjuk fel az f( x )= x 3 5 x 2 +x+20   függvény a=3  hely körüli harmadfokú Taylor-polinomját!

Megoldás: Induljunk ki a Taylor-polinom definíciójából, eszerint

T 3 f( x )=f( a )+ 1 1! f ( a )( xa )+ 1 2! f ( a ) ( xa ) 2 + 1 3! f ( a ) ( xa ) 3

Ebben a sorban kell most a  helyére 3-at helyettesítenünk.

T 3 f( x )=f( 3 )+ 1 1! f ( 3 )( x3 )+ 1 2! f ( 3 ) ( x3 ) 2 + 1 3! f ( 3 ) ( x3 ) 3

Ehhez először az f( 3 ),     f ( 3 ),     f ( 3 ),     f ( 3 )  értékeket kell meghatároznunk és behelyettesítenünk.

f( x )= x 3 5 x 2 +x+20                        f( 3 )= 3 3 5 3 2 +3+20=5 

f ( x )=3 x 2 10x+1                         f ( 3 )=3 3 2 103+1=2

f ( x )=6x10                         f ( 3 )=6310=8

f ( x )=6                    f ( 3 )=6

Tehát

T 3 f( x )=5+ 1 1! ( 2 )( x3 )+ 1 2! 8 ( x3 ) 2 + 1 3! 6 ( x3 ) 3 =52( x3 )+4 ( x3 ) 2 + ( x3 ) 3

Ha elvégeznénk a hatványozásokat és összevonnánk az azonos fokszámú tagokat, természetesen visszakapnánk az eredeti polinomot, ezzel tudnánk ellenőrizni a megoldást.

7. feladat: Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következők igazak: p( 0 )=3,         p ( 0 )=1,         p ( 0 )=6,         p ( 0 )=12 ?

Megoldás: Mivel a függvény és deriváltjainak értéke a nulla helyen adott és a polinom harmadfokú, ezért a harmadfokú Maclaurin-polinom felírásából indulunk ki.

p( x )=p( 0 )+ 1 1! p ( 0 )x+ 1 2! p ( 0 ) x 2 + 1 3! p ( 0 ) x 3 .

Nincs más dolgunk, mint a függvény és a derivált megadott értékeit behelyettesíteni.

p( x )=3+ 1 1! ( 1 )x+ 1 2! ( 6 ) x 2 + 1 3! 12 x 3 =3x3 x 2 +2 x 3

Ha a tagokat a szokott sorrendben írjuk, akkor p( x )=2 x 3 3 x 2 x+3 .

8. feladat: Hogyan határozhatjuk meg 1 e 10  közelítő értékét, ha csak négy alapműveletes számológépünk van?

Megoldás: Mivel 1 e 10 = e 0.1 , ezért a feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelítőleg az f( x )= e x  függvény x 0 =0.1  helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a 0.1  "közel van" a nullához, ezért az f(x)  függvény egy tetszőleges fokszámú Maclaurin-polinomjának segítségével határozhatjuk meg a közelítő értéket. Vegyük ezen függvény másodfokú Maclaurin-polinomját, melybe majd x  helyére a megadott x 0  értéket kell behelyettesítenünk.

f( x )= e x                        f( 0 )= e 0 =1 

f ( x )= e x                        f ( 0 )= e 0 =1 

f ( x )= e x                         f ( 0 )= e 0 =1 

Ebből

M 2 f(x)=1+ 1 1! x+ 1 2! x 2

e 0.1 1+ 1 1! ( 0.1 )+ 1 2! ( 0.1 ) 2 =10.1+0.005=0.905 .

Minél minél magasabbfokú polinomot veszünk figyelembe, a közelítő érték annál pontosabb lesz.

Ha például a harmadfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor

e 0.1 1+ 1 1! ( 0.1 )+ 1 2! ( 0.1 ) 2 + 1 3! (0.1) 3 =10.1+0.0050.00016=0.9049

Ha a negyedfokú polinomba, akkor

e 0.1 1+ 1 1! ( 0.1 )+ 1 2! ( 0.1 ) 2 + 1 3! ( 0.1 ) 3 + 1 4! ( 0.1 ) 4 =

=10.1+0.0050.0001 6 ˙ +0.0000041 6 ˙ =0.9048375 .

Ha nem csak négy alapműveletes számológépünk van, akkor egy lépésben kaphatunk közelítő értéket, s így e 0.1 0.904837418 . Amint látható a negyedfokú polinomból kapott érték már 6 tizedesjegyre pontos. Ha ennél is pontosabb értékre van szükség, további tagokat figyelembe véve tetszőleges pontosság érhető el.

9. feladat: Adjunk közelítést cos0.1 -re, ha csak négy alapműveletes számológépünk van.

Megoldás: A feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelítőleg az f( x )=cosx  függvény x 0 =0.1  helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a 0.1  "közel van" a nullához, ezért az f(x)  függvény egy tetszőleges fokszámú Maclaurin-polinomjának segítségével határozhatjuk meg a közelítő értéket.

f( x )=cosx                       f( 0 )=cos0=1 

f ( x )=sinx                    f ( 0 )=sin0=0 

f ( x )=cosx                       f ( 0 )=cos0=1 

Ebből

M 2 f(x)=1+ 0 1! x+ 1 2! x 2 =1 1 2 x 2

cos0.11 1 2 (0.1) 2 =0.99500

Ha nem csak négy alapműveletes számológépünk van, akkor egy lépésben kaphatunk közelítő értéket, s így cos0.10.995004 . Amint látható a másodfokú polinomból kapott érték már 5 tizedesjegyre pontos.

Ellenőrző kérdések
1. Melyik az f( x )= 1 52x  függvény harmadfokú Maclaurin-polinomja?
1 5 + 2 25 x+ 4 125 x 2 + 8 625 x 3
1 5 2 25 x+ 4 125 x 2 8 625 x 3
1 5 + 2 25 x+ 4 125 x 2 + 16 625 x 3
1 5 2 25 x+ 4 125 x 2 16 625 x 3
2. Melyik az f( x )= sin 2 x cos 2 x  negyedfokú Maclaurin-polinomja?
12 x 2 + 1 3 x 4
1+2 x 2 1 3 x 4
12 x 2 + 2 3 x 4
1+2 x 2 2 3 x 4
3. Az alábbiak közül melyik az f( x )= cos 2 x  negyedfokú Maclaurin-polinomja?
1 x 2 + 1 3 x 4
12 x 2 + 1 3 x 4
1 x 2 + 2 3 x 4
12 x 2 + 2 3 x 4
4. Az alábbi függvények közül melyik az f( x )=2 x 3 11 x 2 +17x2  függvény a=2  hely körüli harmadfokú Taylor-polinomja?
f( x )=4( x2 )+3 ( x2 ) 2 +2 ( x2 ) 3
f( x )=43( x2 )+ ( x2 ) 2 +2 ( x2 ) 3
f( x )=23( x2 )+4 ( x2 ) 2 +2 ( x2 ) 3
f( x )=24( x2 )+3 ( x2 ) 2 +2 ( x2 ) 3
5. Melyik az a harmadfokú p( x )  polinom, melyre a következők igazak: p( 0 )=5,         p ( 0 )=3,         p ( 0 )=4,         p ( 0 )=18 ?
p( x )=5 x 3 3 x 2 +4x+18
p( x )=5 x 3 3 x 2 +2x+3
p( x )=18 x 3 +4 x 2 3x+5
p( x )=3 x 3 +2 x 2 3x+5
6. Ha e  közelítő értékét az f( x )= e x  függvény harmadfokú Maclaurin-polinomjából számoljuk, akkor mit kapunk?
1.6443 6 ˙
1.6458 3 ˙
1.6465 3 ˙
1.6481 6 ˙
7. Ha sin0.1  értékét az f(x)=sinx  harmadfokú Maclaurin-polinomjából számoljuk, akkor mit kapunk?
0.1001 6 ˙
0.0998 3 ˙
0.0017453283
0.1001 6 ˙