KURZUS: Matematika 2.
MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai
4. lecke: Taylor polinom
Tanulási cél: Megismerni a Taylor- és Maclaurin polinom fogalmát, valamint ezek alkalmazását közelító értékek kiszámolására. | |||
Elméleti összefoglaló | |||
Sokszor találkozunk a gyakorlatban olyan bonyolult függvényekkel, melyekkel a számolás nehézkes. Ilyenkor érdemes a bonyolult függvényt egyszerűbbel közelíteni, amely valamilyen értelemben jól közelíti az eredetit. Célszerűnek tűnik a hatványfüggvényekkel való közelítés, mivel azokkal könnyű dolgozni. | |||
Egy függvény lineáris közelítésére egy adott pont környezetében már láttunk példát egy függvény adott pontjába húzott érintő egyenese kapcsán a Matematika 1. tárgyban. | |||
A lineáris közelítésnél (érintő egyenesnél) jobb közelítést nyerhetünk egy adott pont környezetében magasabbfokú polinomokkal. Erre mutat példát a következő ábra, melyen a függvényt közelítettük első-, harmad-, ötödfokú polinommal a környezetében. | |||
|
Definíció: Legyen az olyan függvény, mely értelmezett az rögzített hely egy környezetében, s ott -szer folytonosan differenciálható. Ekkor a | ||
polinomot az függvény helyen vett -edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. |
(A nulladik derivált magát a függvényt jelenti, azaz , és .) | |||
Észrevehetjük, hogy az elsőfokú Taylor-polinom pontosan az függvény helyen vett érintő egyenesének egyenletét adja: . (Az érintő egyenes egyenletét lásd Matematika 1. tárgy Differenciálszámítás bevezetése című leckében.) | |||
A Taylor-polinom közelíti az eredeti függvényt. Minél közelebb van az -hoz, és minél magasabb a polinom rendje, a közelítés általában annál jobb. | |||
Ha , azaz a függvényt környezetében közelítjük, akkor Maclaurin-polinomról beszélünk. | |||
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat: Írjuk fel az függvény másodfokú Maclaurin-polinomját! | |||
Megoldás: A megoldásban induljunk el a Maclaurin-polinom definíciójából, miszerint egy függvény -edfokú Maclaurin-polinomjának nevezzük, a helyen vett -edfokú Taylor-polinomot, mely az alábbi módon írható fel. | |||
Mivel feladatunkban másodfokú polinomot kell felírnunk, így , s így a polinomban csupán három tag fog szerepelni. | |||
Természetesen a konkrét Maclaurin-polinom felírásához meg kell határoznunk a képletben szereplő , és értékeket. | |||
Elsőként helyettesítsük a függvénybe a -t. | |||
Ezután állítsuk elő a függvény deriváltját, és határozzuk meg a derivált helyettesítési értékét is a helyen. | |||
A deriválás során ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvényt deriválunk, így a külső függvény deriválása után szoroznunk kell még a belső függvény deriváltjával is. | |||
Hajtsuk végre a behelyettesítését. | |||
Állítsuk elő a második deriváltat. | |||
Helyettesítsük ebbe is a -t. | |||
Utolsó lépésként helyettesítsük be a meghatározott , és értékeket a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után határozzuk meg a faktoriálisok értékét, és egy-egy tagban szorozva a konstansokat, hozzuk egyszerűbb alakra a polinomot. | |||
Az alábbi ábra jól szemlélteti, hogy milyen módon közelíti az eredeti függvényt a számolt másodfokú Maclaurin polinom. | |||
| |||
2. feladat: Írjuk fel az függvény másodfokú Maclaurin-polinomját! | |||
Megoldás: Itt is elindulhatunk a másodfokú Maclaurin-polinom definíciójából. | |||
Most is elő kell állítanunk az , és értékeket. | |||
Helyettesítsük be elsőként a függvénybe a -t. | |||
Ezután állítsuk elő a függvény deriváltját. A deriválás előtt célszerű átalakítani a függvényt. A gyök helyett írjunk törtkitevős hatványt. | |||
Ebből az alakból már egyszerű a deriválás. | |||
Helyettesítsük be a deriváltba a -t. | |||
Állítsuk elő a második deriváltat is. | |||
Határozzuk meg a második derivált helyen vett helyettesítési értékét. | |||
Végül a meghatározott , és értékeket helyettesítsük be a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után hozzuk egyszerűbb alakra a polinomban az együtthatókat. | |||
A másodfokú Maclaurin polinommal való közelítést szemlélteti a következő ábra. | |||
| |||
3. feladat: Határozzuk meg az függvény harmadfokú Maclaurin-polinomját! | |||
Megoldás: Induljunk ki a Maclaurin-polinom definíciójából. | |||
Állítsuk elő a szükséges deriváltakat, és határozzuk meg a függvény, valamint a deriváltak értékét a nulla helyen. A deriválások egyszerűbbek ha a függvényt átalakítjuk, mert akkor tört helyett összetett függvényünk lesz. | |||
A kapott értékeket helyettesítsük be a polinomba. | |||
A közelítést a következő ábra szemlélteti. | |||
| |||
4. feladat: Írjuk fel az függvény helyen vett másodfokú Taylor-polinomját! | |||
Megoldás: A definícióból indulunk el, mely szerint az függvény helyen vett -edfokú Taylor-polinomja a következő: | |||
. | |||
Mivel másodfokú polinom a kérdés, így . | |||
Annyiban változik tehát csak a dolgunk az előzőekhez képest, hogy nem a helyen kell meghatároznunk a függvény, valamint első és második deriváltjának értékét, hanem az helyen. | |||
Helyettesítsünk először a függvénybe. | |||
Állítsuk elő a függvény deriváltját. Figyeljünk oda, mert összetett függvényről van szó, ne felejtsünk el szorozni a belső függvény deriváltjával. | |||
Helyettesítsünk most a deriváltba is. | |||
Ezután deriváljunk még egyszer. | |||
A második deriváltba is helyettesítsük be az értéket. | |||
Az előzőekben meghatározott , és értékeket írjuk be a Taylor-polinom képletébe, s egyben helyettesítsünk helyére is. | |||
Végül hozzuk egyszerűbb alakra a polinom együtthatóit. | |||
A szemléltetést a következő ábra segíti. | |||
| |||
5. feladat: Írjuk fel az függvény helyen vett másodfokú Taylor-polinomját! | |||
Megoldás: Most is a másodfokú Taylor-polinom definícióját használjuk fel. | |||
Határozzuk meg a polinomban szereplő, egyelőre ismeretlen , és értékeket. | |||
Helyettesítsük elsőként a függvénybe az -ot. | |||
Deriváljuk a függvényt. | |||
Helyettesítsünk be a deriváltba is helyére -ot. | |||
Állítsuk elő a második deriváltat. | |||
Helyettesítsük a második deriváltba is az -ot. | |||
Majd a Taylor-polinom képletében helyettesítsünk , , és helyére. | |||
Végül írjuk egyszerűbb alakban a polinom együtthatóit. | |||
Jelen esetben a Taylor polinommal való közelítést a következő ábra szemlélteti. | |||
| |||
6. feladat: Írjuk fel az függvény hely körüli harmadfokú Taylor-polinomját! | |||
Megoldás: Induljunk ki a Taylor-polinom definíciójából, eszerint | |||
Ebben a sorban kell most helyére -at helyettesítenünk. | |||
Ehhez először az értékeket kell meghatároznunk és behelyettesítenünk. | |||
Tehát | |||
Ha elvégeznénk a hatványozásokat és összevonnánk az azonos fokszámú tagokat, természetesen visszakapnánk az eredeti polinomot, ezzel tudnánk ellenőrizni a megoldást. | |||
7. feladat: Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következők igazak: ? | |||
Megoldás: Mivel a függvény és deriváltjainak értéke a nulla helyen adott és a polinom harmadfokú, ezért a harmadfokú Maclaurin-polinom felírásából indulunk ki. | |||
. | |||
Nincs más dolgunk, mint a függvény és a derivált megadott értékeit behelyettesíteni. | |||
Ha a tagokat a szokott sorrendben írjuk, akkor . | |||
8. feladat: Hogyan határozhatjuk meg közelítő értékét, ha csak négy alapműveletes számológépünk van? | |||
Megoldás: Mivel , ezért a feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelítőleg az függvény helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a "közel van" a nullához, ezért az függvény egy tetszőleges fokszámú Maclaurin-polinomjának segítségével határozhatjuk meg a közelítő értéket. Vegyük ezen függvény másodfokú Maclaurin-polinomját, melybe majd helyére a megadott értéket kell behelyettesítenünk. | |||
Ebből | |||
. | |||
Minél minél magasabbfokú polinomot veszünk figyelembe, a közelítő érték annál pontosabb lesz. | |||
Ha például a harmadfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor | |||
Ha a negyedfokú polinomba, akkor | |||
. | |||
Ha nem csak négy alapműveletes számológépünk van, akkor egy lépésben kaphatunk közelítő értéket, s így . Amint látható a negyedfokú polinomból kapott érték már 6 tizedesjegyre pontos. Ha ennél is pontosabb értékre van szükség, további tagokat figyelembe véve tetszőleges pontosság érhető el. | |||
9. feladat: Adjunk közelítést -re, ha csak négy alapműveletes számológépünk van. | |||
Megoldás: A feladatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelítőleg az függvény helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a "közel van" a nullához, ezért az függvény egy tetszőleges fokszámú Maclaurin-polinomjának segítségével határozhatjuk meg a közelítő értéket. | |||
Ebből | |||
Ha nem csak négy alapműveletes számológépünk van, akkor egy lépésben kaphatunk közelítő értéket, s így . Amint látható a másodfokú polinomból kapott érték már 5 tizedesjegyre pontos. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Melyik az függvény harmadfokú Maclaurin-polinomja? ![]() | |||||||||
2. Melyik az negyedfokú Maclaurin-polinomja? ![]() | |||||||||
3. Az alábbiak közül melyik az negyedfokú Maclaurin-polinomja? ![]() | |||||||||
4. Az alábbi függvények közül melyik az függvény hely körüli harmadfokú Taylor-polinomja? ![]() | |||||||||
5. Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következők igazak: ? ![]() | |||||||||
6. Ha közelítő értékét az függvény harmadfokú Maclaurin-polinomjából számoljuk, akkor mit kapunk? ![]() | |||||||||
7. Ha értékét az harmadfokú Maclaurin-polinomjából számoljuk, akkor mit kapunk? ![]() |