KURZUS: Matematika 2.

MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai

3. lecke: Teljes függvényvizsgálat

Tanulási cél: A teljes függvényvizsgálat lépéseinek megismerése és gyakorlása.

Elméleti összefoglaló

Függvénydiszkusszión annak vizsgálatát értjük, hogy egy függvény az értelmezési tartományának mely pontjaiban, vagy mely részhalmazain rendelkezik a függvényekre jellemző tulajdonságok valamelyikével.

A jellemző tulajdonságokat két csoportba oszthatjuk.

Az első csoportba az úgynevezett globális tulajdonságok tartoznak. Ide soroljuk azokat, amelyekkel egy függvény az értelmezési tartományának egy egész részhalmazán rendelkezik vagy nem rendelkezik, pl. növekedés vagy konvexitás.

A másik csoportba a lokális tulajdonságok tartoznak. Ezek azok, amelyek az értelmezési tartomány egy pontjában lépnek fel, pl. lokális szélsőérték, zérushely stb.

A függvények diszkusszióját a következő lépésekben végezzük:

1.Értelmezési tartomány meghatározása.
2.Alaki tulajdonságok (tengelymetszetek, paritás).
3.Limeszek az értelmezési tartomány szélein.
4.Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása.
5.Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása.
6.Grafikon rajzolása.
7.Értékkészlet meghatározása.
Kidolgozott feladatok

1. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f( x )= x 3 3 x 2  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

Egyszerű most a helyzetünk, mert látható, hogy a függvény mindenütt értelmezve van, ezért

D f = .

2. Alaki tulajdonságok.

Ezen értjük egyrészt annak meghatározását, hogy a függvény grafikonja hol metszi az x  tengelyt. Ezeket a pontokat az f( x )=0   egyenlet megoldásai adják. Megoldjuk tehát az

x 3 3 x 2 =0

egyenletet. Az x 2  kiemelésével

x 2 ( x3 )=0 ,

ami akkor teljesül, ha x 1 =0  vagy ha x 2 =3 . Ebben a két pontban metszi tehát a grafikon az x  tengelyt.

Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a grafikon hol metszi az y  tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben f( 0 )  adja a keresett pontot. A mi esetünkben

f( 0 )= 0 3 3 0 2 =0 ,

a grafikon tehát átmegy az origón.

Továbbá ebben a lépésben vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az f( x )  összetett függvény képletének előállításával kezdődik.

f( x )= ( x ) 3 3 ( x ) 2 = x 3 3 x 2 .

A függvény akkor páros, ha f( x )=f( x )  (tehát szimmetrikus az y  tengelyre), ez most nem teljesül, mivel

x 3 3 x 2 x 3 3 x 2 .

A függvény akkor páratlan, ha f( x )=f( x )  (tehát szimmetrikus az origóra), most ez sem teljesül, mivel

x 3 3 x 2 ( x 3 3 x 2 ) .

Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani.

Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, ezért két limeszt kell kiszámolnunk:

lim x ( x 3 3 x 2 )= lim x x 3 ( 1 3 x )= ,

lim x ( x 3 3 x 2 )= lim x x 3 ( 1 3 x )= .

4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása.

Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol f ( x )=0 . Elkészítjük tehát a derivált függvényt:

f ( x )=3 x 2 6x ,

és megoldjuk az f ( x )=0  egyenletet.

3 x 2 6x=0 ,

3x( x2 )=0 ,

aminek a két gyöke x 1 =0 , illetve x 2 =2 .

A derivált gyökei közül az értelmezési tartományba is beletartozók a lehetséges szélsőértékek. Mivel most a teljes valós számok halmaza az értelmezési tartomány, mindkét gyököt meg kell vizsgálnunk.

Tudjuk, hogy a jelöltek közül azok valóban szélsőérték helyek, ahol a derivált függvény előjelet vált.

A jelöltek az értelmezési tartományt (további) darabokra bontják, és ezeken a darabokon a derivált függvény állandó előjelű, ezeket az előjeleket kell először meghatározni. Ezeket egy-egy, a darabokba eső számnak a derivált függvénybe való behelyettesítésével kaphatjuk meg. Az egész eljárást célszerű egy táblázatba foglalni.

A táblázat első sora a szélsőérték jelölteket és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza (a valós számok természetes rendezésében).

A második sorban az f ( x )  egyes darabokbeli előjele szerepel, (és az, hogy a derivált a jelöltekben nulla).

Az értelmezési tartományunk egy darabból áll, és két jelöltünk van, ezek tehát három darabra bontják az értelmezési tartományt.

A ( ,0 )  darabból vesszük mondjuk a 1 -et, s ekkor azt kapjuk, hogy f ( 1 )=3 ( 1 ) 2 6( 1 )=9>0 , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.

A ( 0,2 )  darabból vegyük például az 1-et, ekkor f (1)=3 (1) 2 6(1)=3<0 , ezért az egész darabon negatív az előjel.

Végül a ( 2, )  darabból válasszuk a hármat, ekkor f ( 3 )=3 ( 3 ) 2 6( 3 )=9>0 , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.

Az alábbi táblázat első két sorában látjuk ezeket feltüntetve.

x ( ,0 ) 0 ( 0,2 ) 2 ( 2, )
f ( x ) + 0- 0+
f( x ) lok. max. lok. min.

Látjuk azt is, hogy mindkét jelöltünk esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőérték hely.

Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maximum van. A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum van.

Ki kell még számolni a maximum és a minimum értékét:

f( 0 )=0 , illetve f( 2 )= 2 3 3 . 2 2 =4 .

Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növő a függvény, ahol negatív, ott csökkenő.

Az előző táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza, felfelé mutató nyíllal jelölve a növekedést, illetve lefelé mutatóval a csökkenést. A növekedési viszonyokból is leolvasható, hogy egy adott szélsőérték hely maximum hely, vagy minimum hely.

5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása.

Tudjuk, hogy inflexiós pont ott lehet, ahol f ( x )=0 . Elkészítjük tehát a második deriváltat:

f ( x )=6x6 .

Megoldva az

f ( x )=0 , azaz a 6x6=0

egyenletet megoldásként x 1 =1  adódik. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inflexiós pont jelölt.

Tudjuk, hogy a jelöltek közül az(ok) valóban inflexiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba foglaljuk.

Az első sor most az inflexiós pont jelölteket, és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza.

A második sor a második derivált előjelét tartalmazza a keletkezett darabokon, és azt, hogy a jelöltünkben az értéke nulla. Egy jelöltünk van, ami az értelmezési tartományt két részre bontja.

Az első darabból vegyük a nullát, itt f (0)=6(0)6=6<0 , ezért az egész darabon negatív a második derivált.

A második darabból vegyük a kettőt, ekkor f ( 2 )=6( 2 )6=6>0 , tehát az egész darabon pozitív a második derivált.

Az alábbi táblázatban láthatjuk ezeket.

x ( ,1 ) 1 ( 1, )
f ( x ) - 0+
f( x ) konkávinf. pontkonvex

Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az 1 inflexiós pont. Ki kell még számítanunk az inflexiós pont második koordinátáját:

f( 1 )= 1 3 3 ( 1 ) 2 =2 .

Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konvex a függvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza.

6. Grafikon.

Az eddig megszerzett információkat felhasználva felvázolható a függvény grafikonja.

Felvéve egy koordináta-rendszert először a nevezetes pontokat jelöljük meg, (tengelymetszetek, szélsőértékek, inflexiós pontok.)

Ezután vegyük figyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat.

Végül, a konvexitási információkat is figyelembe véve, rajzoljuk meg a grafikont.

Ezt látjuk az alábbi ábrán.

7. Értékkészlet.

A (helyes) grafikonról leolvasható az értékkészlet.

Most azt kapjuk, hogy

R f = .

2. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f( x )= x x 2 +1  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

A nevező x 2 +1 , soha nem lehet nulla. Azt látjuk, hogy minden valós számra teljesül ez az egyenlet, így

D f = .

2. Alaki tulajdonságok.

Az f( x )=0  egyenlet megoldása x 1 =0 , ami az x  tengellyel vett metszetet adja, azonban f( 0 )=0  miatt, itt metszi a grafikon a függőleges tengelyt is.

A függvény paritását vizsgálva látjuk, hogy

f( x )= x ( x ) 2 +1 = x x 2 +1 =f( x ) ,

tehát a függvény páratlan.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

Ismét csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve x 2 -et kapjuk, hogy

lim x x x 2 +1 = lim x 1 x 1+ 1 x 2 =0 .

Teljesen hasonlóan

lim x x x 2 +1 = lim x 1 x 1+ 1 x 2 =0 .

4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása.

f ( x )= ( x 2 +1 )2 x 2 ( x 2 +1 ) 2 = 1 x 2 ( x 2 +1 ) 2 .

A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván x 1 =1  és x 2 =1  esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van, meg kell ezért őket vizsgálni.

Elkészítjük a táblázatot.

x ( ,1 ) 1 ( 1,1 ) 1 ( 1, )
f ( x ) - 0+ 0-
f( x ) lok. min. lok. max.

Az első darabból a 2 -t helyettesítve f (2)= 3 25 <0 .

A második darabból 0-t helyettesítve f ( 0 )=1>0 .

Végül a harmadik darabból 2-t helyettesítve f (2)= 3 25 <0 .

Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy mindkét jelölt esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a 1  lokális minimum hely, az 1  lokális maximum hely.

A minimum értéke f( 1 )= 1 2 , a maximum értéke (a páratlanság miatt is) f( 1 )= 1 2 .

A fenti táblázat harmadik sorában megjelöltük a monotonitási szakaszokat. Látjuk, hogy a szélsőértékeken kívül a függvény csökkenő, a szélsőértékek között növő.

5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása.

f ( x )= 2x ( x 2 +1 ) 2 ( 1 x 2 )2( x 2 +1 )2x ( x 2 +1 ) 4 = 2x( x 2 +1 )4x( 1 x 2 ) ( x 2 +1 ) 3 = = 2 x 3 6x ( x 2 +1 ) 3 = 2x( x 2 3 ) ( x 2 +1 ) 3

Az f ( x )=0  egyenletnek most három megoldása van: x 1 = 3 ,     x 2 =0,     x 3 = 3 . Mindhárom az értelmezési tartományban van, ezért meg kell őket vizsgálni. Most az alábbi táblázatot készíthetjük el.

x ( , 3 ) 3 ( 3 ,0 ) 0 ( 0, 3 ) 3 ( 3 , )
f ( x ) - 0+ 0- 0+
f( x ) konkávinf.pontkonvexinf.pontkonkávinf.pontkonvex

Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk:

az első tartományból válasszuk a 2 -t, ekkor f (2)= 4 125 <0 ,

a második tartományból a 1 -et, ekkor f ( 1 )= 4 8 = 1 2 >0 ,

a harmadikból az 1-et, ekkor f (1)= 1 2 <0 ,

a negyedikből 2-t, ekkor f ( 2 )= 4 125 >0 .

Látjuk, hogy mindhárom jelölt esetén megvan az előjelváltás, mind a három valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: f( 3 )= 3 4 , f( 0 )=0  és f( 3 )= 3 4 .

A második táblázat harmadik sorában szerepelnek ezek az információk. Látjuk, hogy most az inflexiós pontok választják el a konkáv és konvex szakaszokat.

6. Grafikon.

A grafikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. A határértékek azt mondják, hogy a függvény a végtelenek felé hozzásimul az x  tengelyhez. Figyelembe véve a monotonitási és konvexitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk:

Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a grafikon az origóra szimmetrikus.

7. Értékkészlet.

Az ábra alapján világos, hogy a függvény a lokális minimuma és a lokális maximuma közötti értékeket veszi fel, beleértve azokat is, tehát

R f =[ 1 2 ,     1 2 ] .

3. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f( x )= x 2 1 x 3  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

Mivel a nevezőben nulla nem lehet, így

D f =\{ 0 }=( , 0 )( 0,  ) .

2. Alaki tulajdonságok.

Az f( x )=0  egyenletnek most két gyöke van: x 1 =1  és x 2 =1 . Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt.

A paritást vizsgálva:

f( x )= ( x ) 2 1 ( x ) 3 = x 2 1 x 3 = x 2 1 x 3 =f( x ) ,

a függvény tehát páratlan.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

Az értelmezési tartomány két darabból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.)

Ezek:

lim x x 2 1 x 3 = lim x x 3 ( 1 x 1 x 3 ) x 3 1 = lim x ( 1 x 1 x 3 )=0 ,

lim x 0      x 2 1 x 3 = ,

hiszen a számláló 1 -hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív.

lim x 0 + x 2 1 x 3 = ,

a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül

lim x x 2 1 x 3 =0 ,

most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese.

4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása.

f ( x )= 2x( x 3 )( x 2 1 )3 x 2 x 6 = 2 x 4 3 x 4 +3 x 2 x 6 = x 4 +3 x 2 x 6 = x 2 3 x 4 .

Az f ( x )=0  egyenlet megoldásai: x 1 = 3 , x 2 = 3 .

Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza.

Figyeljünk arra, hogy most a D f  eleve két darabból áll. Ezeket vágja ketté a két jelölt, mivel különböző darabokba esnek. A táblázat fejlécében ezért négy darabot kell szerepeltetni.

x ( , 3 ) 3 ( 3 ,0 ) 0 ( 0, 3 ) 3 ( 3 , )
f ( x ) - 0+X+ 0-
f( x ) lok.min. X lok.max.

Az f ( x )  előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk:

f (2)= 1 16 <0 ,

f ( 1 )=2>0 ,

f ( 1 )=2>0 ,

f ( 2 )= 1 16 <0 .

Mindkét jelöltben előjelet vált a derivált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig 3  lokális minimum hely, 3  lokális maximum hely. A lokális minimum értéke f( 3 )= 2 27 0.38 , a lokális maximum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, f( 3 )0.38 .

A táblázatunk harmadik sorából láthatjuk, hogy mik a monotonitási viszonyok.

5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása.

f ( x )= 2x( x 4 )( x 2 3 )4 x 3 x 8 = 2 x 5 4 x 5 +12 x 3 x 8 = 2 x 5 +12 x 3 x 8 = 2( x 2 6 ) x 5 .

f ( x )=0  akkor és csak akkor, ha x 1 "" = 6 , x 2 "" = 6 . Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi:

x ( , 6 ) 6 ( 6 ,0 ) 0 ( 0, 6 ) 6 ( 6 , )
f ( x ) - 0+X- 0+
f( x ) konkávinf.pontkonvexXkonkávinf.pontkonvex

Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével ellenőrizze le most az olvasó.

Az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is.

Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyforma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek.

A számlálóban egy másodfokú kifejezés áll, amelynek képe egy felfelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív x-ekre negatív, pozitívakra pozitív.

Ezek alapján is megkaphatjuk a fenti előjeleket.

Mindkét jelölt inflexiós pont tehát. Az inflexiós pontok második koordinátái: f( 6 )= 5 6 6 0.34 , f( 6 )=0.34 .

A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inflexiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a függvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a 6  és 6  közötti részt nem lehet egy darabként szerepeltetni a fejlécben.

A táblázat harmadik sorában szerepelnek az erre vonatkozó információk.

6. Grafikon.

Az eddigek figyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk fel:

7. Az ábráról látszik, hogy

R f = .

Ellenőrző kérdések
1. Hány lokális szélsőértéke van az f( x )= x 3 x 2 +x  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
2. Hány inflexiós pontja van az f( x )= x 3 x 2 +x  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
3. Van-e olyan harmadfokú polinom, amelynek nincs inflexiós pontja?
Van.
Nincs.
4. Az f( x )=x+ 4 x  függvény lokális minimumának értéke
4.
2.
4 .
.
5. Az f( x )= 6x x 2 +2  függvény lokális szélsőértékhelyei
2,2 .
0,  2 .
2 ,0 .
2 , 2 .
6. Az f( x )= x 4 2 x 2 3  függvény...
páros.
páratlan.
Egyik sem.
7. Az f( x )=x e x 2  függvény...
páros.
páratlan.
Egyik sem.
Összetettebb feladatok

4. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f( x )=ln( x 2 +1 )  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

A logaritmus argumentumára kell kikötést tennünk. Mivel x 2 +1>0  minden x-re, ezért D f = .

2. Alaki tulajdonságok.

Megoldjuk először az

ln( x 2 +1 )=0

egyenletet. Mivel a logaritmus egyedül 1-ben nulla, az kell, hogy

x 2 +1=1

legyen, ami x=0  esetén teljesül. Persze ekkor f( 0 )=0  is fennáll, a grafikon tehát áthalad az origón.

A paritást vizsgálva:

f( x )=ln( ( x ) 2 +1 )=ln( x 2 +1 )=f( x ) ,

most tehát páros függvénnyel van dolgunk.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

lim x ln( x 2 +1 )= ,

lim x ln( x 2 +1 )= .

A párosság miatt ezek nem is lehetnek eltérők.

4. Lokális szélszőértékek.

f ( x )= 1 x 2 +1 . 2x= 2x x 2 +1 .

2x x 2 +1 =0  akkor és csak akkor, ha x 1 =0 , egy szélsőérték jelöltünk van tehát. A szokásos táblázat elkészítésével megvizsgáljuk, hogy valóban szélsőérték-e.

x ( ,0 ) 0 ( 0, )
f ( x ) -0+
f( x ) lok. min.

Látjuk, hogy a jelöltünk valóban szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, a minimum értéke: f( 0 )=0 .

5. Monotonitási szakaszok.

A harmadik sorból látszik, hogy a minimum hely előtt csökken, utána nő a függvény.

6. Inflexiós pontok.

f ( x )= 2( x 2 +1 )2 x . 2x ( x 2 +1 ) 2 = 22 x 2 ( x 2 +1 ) 2 .

f ( x )=0  akkor és csak akkor, ha x 1 =1  vagy x 2 =1 .

Az alábbi táblázatban mindkét jelöltet megvizsgáljuk.

x ( ,1 ) 1 ( 1,1 ) 1 ( 1, )
f""( x ) 0 + 0
f( x ) konkávinf. pontkonvexinf. pontkonkáv

Mindkét jelölt valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: f( 1 )=f( 1 )=ln 20.69 .

7. Konvex, konkáv szakaszok.

Látjuk a harmadik sorból, hogy a függvény az inflexiós pontok között konvex, azokon kívül konkáv.

8. Grafikon.

Figyelembe véve az eddig megszerzett információkat, most az alábbi grafikont kapjuk.

Most is ügyeljünk arra, hogy a párosság, azaz a grafikon y  tengelyre való szimmetrikussága, látszódjon.

9. Értékkészlet.

Látjuk, hogy R f =[ 0,  ) .

5. feladat: Végezzünk teljes függvényviszgálatot az f( x )=x e x  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

Mivel nem kell kikötést tennünk, így D f = .

2. Alaki tulajdonságok.

A tengelymetszeteket vizsgálva:

f( x )=0   akkor és csak akkor, ha x 1 =0 , a grafikon átmegy az origón.

A paritást vizsgálva:

f( x )=( x ) e ( x ) =x e x .

Ez nem az f( x ) , és nem is annak mínusz egyszerese, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

lim x ( x e x )= ,

hiszen a szorzat első tényezője mínusz végtelenbe, a második tényezője plusz végtelenbe tart.

A lim x ( x e x )  határérték 0  típusú, de átírható lim x x e x  alakban törtté, és ez a  típusú limesz a L'Hospital-szabály segítségével könnyen kiszámolható. A deriváltak hányadosának limesze

lim x 1 e x =0 ,

ezért

lim x ( x e x )=0 .

4. Lokális szélsőértékek.

A deirválásnál a szorzat szabályt alkalmazva:

f ( x )= e x x e x =( 1x ) e x .

f ( x )=0  pontosan akkor, ha a szorzat valamelyik tényezője 0. Az első tényezőből x 1 =1 , valamint a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla.

A szokásos táblázatban megvizsgáljuk a jelöltet.

x ( ,1 ) 1 ( 1, )
f ( x ) + 0
f( x ) lok. max.

Az 1-ben tehát szélsőérték van, mégpedig lokális maximum, aminek értéke f( 1 )= 1 e 0.37 .

5. Monotonitási viszonyok.

A harmadik sor alapján a függvény 1-ig nő, utána csökken.

6. Inflexiós pontok.

f ( x )= e x +( 1x )( e x )=( x2 ) e x .

f ( x )=0  pontosan akkor, ha a szorzat valamelyik tényezője 0. Az első tényezőből x 1 =2 , valamint a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla. Megvizsgáljuk a jelöltünket. A táblázat most

x ( ,2 ) 2 ( 2, )
f ( x ) 0 +
f( x ) konkávinf. pontkonvex

A második derivált előjele az x2  tényező előjelével azonos. Ez 2  előtt negatív, utána pozitív.

A 2-ben tehát inflexiós pont van. f( 2 )=2 e 2 0.27  az inflexiós pont második koordinátája.

7. Konvex, konkáv szakaszok.

A második sor alapján az inflexiós pont előtt konkáv a függvény, utána konvex.

8. Grafikon.

Figyelembe véve az eddigieket a függvény ábrája:

9. Értékkészlet.

Az ábra alapján a függvény a lokális maximumát, és az annál kisebb értékeket veszi fel, (a lokális maximum most globális maximum is).

R f =( ,     1 e ] .

6. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f( x )= e x x  függvényen.

Megoldás:

1. Értelmezési tartomány.

A nevezőbeli x  miatt

D f =\{ 0 }=( , 0 )( 0,  ) .

2. Alaki tulajdonságok.

A függvény sehol sem nulla, hiszen a számláló semmilyen x-re sem nulla, a grafikon nem metszi a vízszintes tengelyt.

Mivel 0 D f , a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt sem.

f( x )= e x x = e x x ,

amiből látszik, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

Négy határértéket kell kiszámolnunk.

Alkalmazva a L'Hospital-szabályt az eredeti  típusú limeszre:

lim x e x x = lim x e x 1 =0 .

lim x 0 e x x = ,

hiszen a számláló 1-hez, a nevező pedig nullához tart, de mindig negatív.

lim x 0 + e x x = ,

mivel most a nevező a pozitív számokon keresztül tart nullához.

Végül, ismét felhasználva a L'Hospital-szabályt,

lim x e x x = lim x e x 1 = .

4. Lokális szélsőértékek.

f ( x )= x e x e x x 2 = ( x1 ) e x x 2 .

f ( x )=0  pontosan akkor, ha a tört számlálója 0. Mivel a számláló szorzat, így valamelyik tényezőjének kell 0-nak lennie, amiből x=1 .

Figyeljünk most arra, hogy a jelölt a D f  jobb oldali felébe esik, azt vágja ketté, ezért a fejléc az alábbi három intervallumot tartalmazza.

x ( ,0 ) 0 ( 0,1 ) 1 ( 1, )
f ( x ) X 0 +
f( x ) X lok. min.

Az 1-ben tehát lokális minimum van, amelynek értéke: f( 1 )=e .

5. Monotonitási viszonyok.

Figyeljük meg, hogy - összhangban a nulla körüli limeszekkel - a nulla bal és jobb oldali környezetében is csökkenő a függvény.

6. Inflexiós pontok

f ( x )= ( ( x1 ) e x ) x 2 ( x1 ) e x ( x 2 ) x 4 = ( e x +( x1 ) e x ) x 2 2x( x1 ) e x x 4 =

= ( x 2 2x+2 ) e x x 3 .

Újra egy törtet kell vizsgálnunk, hogy az hol 0, mely akkor lehetséges, ha a tört számlálója 0. Mivel a számláló szorzat, így valamelyik tényezőjének kell 0-nak lennie. Azt látjuk, hogy az x 2 2x+2  diszkriminánsa negatív, amiből f""( x )0 , tehát nincs inflexiós pont.

7. Konvex, konkáv szakaszok.

Nincs ugyan inflexiós pont, de a második táblázatot most is el kell készíteni, mert a konvex és konkáv szakaszok abból olvashatók ki.

x ( ,0 ) 0 ( 0, )
f""( x ) X +
f( x ) konkávXkonvex

Az előjelekkel kapcsolatban jegyezzük meg, hogy most f ( x )  előjele (mivel a számlálója mindig pozitív) a nevezője előjelével egyezik meg, az pedig negatív x-ekre negatív, pozitívakra pozitív.

8. Grafikon.

Ezek után elkészíthetjük a függvény ábráját, ami az alábbi:

9. Az ábra alapján

R f =( , 0 )( e,  ) .

Ellenőrző kérdések
8. Az f( x )= x 3 12x+1  függvény csökken az alábbi intervallum(ok)on
( 2, ) .
( 2, 2 ) .
( , 2 ) .
( , 2 )  és ( 2, ) .
9. Hány inflexiós pontja van az f( x )=x e x 2  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
10. Hány inflexiós pontja van az f( x )= x 4 2 x 3 +1  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
11. Hány lokális szélsőértékhelye van az f( x )= x 2 e x  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
12. Hány inflexiós pontja van az f( x )= x 4  függvénynek?
0.
1.
2.
3.
13. Az f( x )= x 6 10 x 4  függvény konkáv a ( 2, 2 )  intervallumon.
Igaz.
Nem igaz.