KURZUS: Matematika 2.
MODUL: V. modul: Többváltozós függvények
12. lecke: Kétváltozós valós értékű függvények differenciálszámítása
Tanulási cél: A kétváltozós függvények differenciálszámítása és annak gyakorlati alkalmazásával való megismerkedés. | ||
A parciális derivált fogalma | ||
Elméleti összefoglaló |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az függvény szerint parciálisan differenciálható az pontban, ha a | ||
határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az függvény pontban vett szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: | ||
. | ||
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az függvény szerint parciálisan differenciálható az pontban, ha a | ||
határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az függvény pontban vett szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: | ||
. | ||
Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az függvény x szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó x szerinti parciális derivált értékével, az függvény x szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: | ||
. | ||
Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az függvény y szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó y szerinti parciális derivált értékével, az függvény y szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: | ||
. |
A definícióból következik, hogy a parciális deriváltfüggvények meghatározásakor az egyváltozós függvények deriválási szabályai használhatók úgy, hogy amikor az egyik változó szerinti parciális deriváltfüggvényt állítjuk elő, akkor a másik változót konstansnak kell tekinteni. | ||
Megjegyzés: A parciális deriváltak lényegében a rétegvonalak deriváltjai. Geometriai jelentésüket az ábra mutatja. | ||
| ||
Az elsőrendű parciális deriváltak maguk is kétváltozós függvények. Ha ezeket újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezeket úgy jelöljük, hogy sorban leírjuk azokat a változókat, amelyek szerint deriválunk. Eszerint másodrendű parciális deriváltból négy létezik. Ezek a következők: | ||
azt jelenti, hogy az függvényt először x szerint, majd másodszor is x szerint deriváljuk parciálisan. | ||
azt jelenti, hogy az függvényt először y szerint, majd másodszor is y szerint deriváljuk parciálisan. | ||
azt jelenti, hogy az függvényt először x szerint, majd másodszor y szerint deriváljuk parciálisan. | ||
azt jelenti, hogy az függvényt először y szerint, majd másodszor x szerint deriváljuk parciálisan. | ||
Az és függvények a tiszta, míg az és függvények a vegyes másodrendű parciális deriváltak. | ||
A Young-tétel kimondja, hogy kétszer folytonosan deriválható függvényekre a magasabbrendű parciális deriváltak függetlenek a deriválás sorrendjétől, azaz | ||
. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Legyen . Számítsuk ki az és értékeket! Képezzük az összes másodrendű parciális deriváltat is! | ||
Megoldás: A feladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelyettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. Azaz: | ||
, | ||
mivel deriváltja , az deriváltja pedig 1. Ezt követően elvégezve a behelyettesítést: | ||
. | ||
kiszámítása hasonlóan történik, most y szerint deriválunk, és az x-et tekintjük konstansnak: | ||
. | ||
Elvégezve a behelyettesítést: | ||
. | ||
Ha az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezek meghatározása következik. | ||
. | ||
Látható, hogy a vegyes másodrendű parciális deriváltak valóban megegyeznek egymással. | ||
2. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | ||
Megoldás: Ha x szerint deriválunk, akkor y és ezzel együtt az is konstansnak tekintendő, ezért | ||
. | ||
Ha y szerint deriválunk, akkor az x és ezzel együtt az is konstansnak tekintendő, ezért | ||
. | ||
Itt a deriválásnál ne felejtsük el, hogy az egy összetett függvény. | ||
. | ||
3. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | ||
Megoldás: Ha a függvényre x függvényeként tekintünk, akkor egy összetett függvényt látunk. Ugyanez lesz a helyzet akkor is, ha majd az y-t tekintjük változónak, az x-et pedig konstansnak. Ennek megfelelően a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós összetett függvények deriválásánál megtanult deriválási szabályt. | ||
. | ||
4. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | ||
Megoldás: Ez is egy összetett függvény, ennek megfelelően a parciális deriváltak a következő módon alakulnak: | ||
. | ||
A másodrendű deriváltak meghatározásánál emlékezni kell az egyváltozós függvények szorzatának deriválási szabályára, amely a következő: | ||
. | ||
Ezt felhasználva a másodrendű parciális deriváltak a következők lesznek: | ||
. | ||
5. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | ||
Megoldás: Ez a függvény is egy összetett függvény, ezért a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós függvények esetében megtanult összetett függvények deriválására vonatkozó szabály is. | ||
A másodrendű parciális deriváltak meghatározásánál az egyváltozós függvények esetében megtanult törtek deriválására vonatkozó szabályra kell emlékezni, amely a következő volt: | ||
. | ||
Ezt felhasználva képezzük a másodrendű parciális deriváltakat: | ||
6. feladat: Állítsuk elő a következő háromváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait: | ||
. | ||
Megoldás: Az függvénynek most három változója van, így három elsőrendű parciális deriváltat tudunk megadni. Kezdjük az x szerinti deriválással. Ilyenkor az y-t és z-t konstansnak kell tekinteni. | ||
. | ||
Ha y szerint deriválunk, akkor az x-et és a z-t tekintjük konstansnak: | ||
. | ||
Ha z szerint deriválunk, akkor az x-et és az y-t tekintjük konstansnak: | ||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Legyen . Számítsuk ki az és értékeket!
![]() | |||||||||
2. Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | |||||||||
3. Legyen . Mivel egyenlő és ?
![]() | |||||||||
4. Legyen . Mivel egyenlő és ?
![]() | |||||||||
5. Legyen . Határozza meg a tiszta másodrendű parciális deriváltakat!
![]() | |||||||||
6. Legyen . Határozza meg az és függvényeket!
![]() |
A gradiensvektor |
Definíció: Legyen az függvény differenciálható az pontban. Ekkor az függvény gradiensvektora (röviden gradiense) az pontban az alábbi vektor: | ||
. |
Megjegyzés: Egy pontban a gradiens vektor az a vektor, amelynek irányába a függvény a leggyorsabban nő, az ezzel ellentétes irányba pedig a függvény a leggyorsabban csökken. A gradiensre merőleges két irányba a függvény a leglassabban változik. | ||
Az iránymenti derivált |
Definíció: Legyen az függvény differenciálható az pontban és legyen egy tetszőleges, nem nulla vektor. Ekkor az függvény irányú deriváltja az pontban: | ||
, | ||
ahol a vektor hossza, pedig a irányú egységvektor. |
Megjegyzés: Ez lényegében a parciális derivált általánosítása. Az x szerinti parciális derivált a irányú, az y szerinti parciális derivált pedig a irányú iránymenti deriváltnak felel meg. | ||
Az érintősík |
Definíció: Legyen az kétváltozós függvény deriválható az pontban. Ekkor a felületet az pontban olyan sík érinti, melynek normálvektora , így az érintősík egyenlete: | ||
. |
Megjegyzés: Ha ezt a formulát z-re rendezzük, akkor ez a sík tekinthető egy kétváltozós függvény grafikonjának. Hasonlóan az egyváltozós esethez, ez a sík az érintési pont közelében nagyon jól közelíti az eredeti függvényt, ezért tekinthető az függvény -beli linearizáltjának. | ||
7. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét az pontban! | ||
Megoldás: Először meg kell határoznunk a parciális deriváltak értékét az pontban. | ||
. | ||
Ezek ismeretében már fel tudjuk írni a gradienst: | ||
. | ||
8. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: | ||
. | ||
. | ||
9. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét ebben a pontban. | ||
. | ||
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | ||
. | ||
Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni: | ||
. | ||
10. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét az adott pontban. | ||
. | ||
. | ||
Szükségünk lesz a irányú egységvektorra: | ||
. | ||
A keresett iránymenti derivált: | ||
. | ||
11. feladat: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! | ||
Megoldás: Először határozzuk meg az érintési pont harmadik koordinátáját: | ||
. | ||
Most határozzuk meg a parciális deriváltak értékeit az adott pontban: | ||
. | ||
Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő: | ||
. | ||
Így a keresett sík egyenlete: | ||
. | ||
Rendezve a szokásos alakra: | ||
. | ||
A feladat megoldását az ábra mutatja. A térbeli koordináta rendszer egy kicsit el van forgatva azért, hogy jobban látható legyen az érintősík. | ||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
7. Határozzuk meg az függvény gradiensét az pontban! ![]() | |||||||||
8. Határozzuk meg az függvény gradiensét az pontban! ![]() | |||||||||
9. Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! ![]() | |||||||||
10. Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() | |||||||||
11. Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() |
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározása | ||
A kétváltozós függvények értelmezési tartományának belső pontjaiba eső szélsőértékeinek meghatározásával foglalkozunk, és azt is feltételezzük, hogy a függvények egy-egy ilyen pontban akárhányszor differenciálhatók. |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az lokális maximum hely, ha van olyan középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában . | ||
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az lokális minimum hely, ha van olyan középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában . |
A lokális maximum helyet és a lokális minimum helyet összefoglalva lokális szélsőérték helynek hívjuk. A lokális maximum helyen felvett értéket lokális maximumnak, a lokális minimum helyen felvett értéket pedig lokális minimumnak, a kettőt együtt lokális szélsőértéknek hívjuk. |
Definíció: Az függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. |
Tétel: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Ha az függvénynek az pontban lokális szélsőértéke van, és itt mindkét változó szerint parciálisan deriválható, akkor | ||
, | ||
Megjegyzés: Lokális szélsőérték hely csak stacionárius pont lehet. De nem minden stacionárius pont lesz lokális szélsőérték hely! | ||
Ahhoz, hogy a stacionárius pontok közül ki tudjuk választani a szélsőértéke helyeket, szükségünk lesz a Hesse mátrix ismeretére. |
Definíció: Az kétváltozós függvény Hesse-mátrixának a következő 2×2-es mátrixot nevezzük: | ||
. |
A Hesse-mátrix mindig egy szimmetrikus mátrix. Ha kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, akkor a következő kifejezéshez jutunk: | ||
. | ||
Tétel: Legyen az függvény egy stacionárius pontja. Ekkor | ||
| ||
12. feladat: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | ||
Megoldás: Függvényünk mindenhol értelmezve van és mindenhol kétszer parciálisan deriválható is. | ||
Első lépésként meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat. | ||
. | ||
Utána ezeket egyenlővé téve nullával, meg kell oldani az így kapott egyenletrendszert. Az egyenletrendszer megoldásai adják a stacionárius pontokat, amelyek a lehetséges szélsőérték helyek. Azaz: | ||
Ha az első egyenletből kivonjuk a második egyenlet kétszeresét, akkor | ||
Tehát most egyetlen egy stacionárius pontot kaptunk: . | ||
Most el kell döntenünk, hogy ez a stacionárius pont szélsőérték hely lesz-e. Ehhez előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat, majd felírjuk a Hesse mátrix determinánsát. | ||
. | ||
. | ||
Mivel a determináns pozitív és , ezért a egy lokális minimum hely. A minimum értéke ebben a pontban: | ||
. | ||
A függvény grafikonja: | ||
| ||
13. feladat: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | ||
Megoldás: Első lépés az elsőrendű parciális deriváltak előállítása: | ||
Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva: | ||
. | ||
Az első egyenletből fejezzük ki x-et: | ||
. | ||
Az így kapott kifejezést helyettesítsük be a második egyenletbe, majd rendezzünk: | ||
. | ||
Egy másodfokú egyenlethez jutunk. A megoldóképletből és értékeket kapjuk. Mindegyikhez kiszámoljuk a neki megfelelő x értéket is. Eszerint két stacionárius pontot kapunk: és . | ||
Előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot: | ||
. | ||
. | ||
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem. | ||
és , ezért a lokális minimum hely. | ||
, ezért a pont nyeregpont. | ||
| ||
14. feladat: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | ||
Megoldás: Ugyanazt az utat követjük, mint az előző feladatban. Először a stacionárius pontok megkereséséhez előállítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat. | ||
. | ||
Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva: | ||
. | ||
A második egyenletből kifejezzük az x változó, majd ezt a kifejezést az első egyenletebe visszahelyettesítve, a kapott másodfokú egyenletet megoldjuk: | ||
Ez egy hiányos másodfokú egyenlet, amit szorzattá alakítással oldunk meg, kihasználva, hogy egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. | ||
. | ||
Eszerint két stacionárius pontot kapunk: | ||
. | ||
Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezen stacionárius pontok valóban szélsőérték helyek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra. | ||
A másodrendű deriváltakból felírjuk a Hesse mátrixot: | ||
. | ||
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem. | ||
, ezért a pont nyeregpont. | ||
és , ezért a lokális maximum hely. Ebben a pontban a függvény értéke: | ||
. | ||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
12. Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | |||||||||
13. Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | |||||||||
14. Az függvénynek
![]() | |||||||||
15. Az függvénynek
![]() |
Összetett feladatok | ||
15. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit: | ||
. | ||
Megoldás: Ebben a feladatban egy szorzatot kell parciálisan deriválni, ráadásul a második tényező összetett függvény. | ||
Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a szorzat deriváltjára tanult szabályt: | ||
. | ||
. | ||
16. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit: | ||
. | ||
Megoldás: Ebben a feladatban egy törtet kell parciálisan deriválni, ráadásul a számláló egy összetett függvény. | ||
Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a hányados deriváltjára tanult szabályt: | ||
. | ||
. | ||
17. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Végezzünk algebrai átalakításokat a deriválás előtt. | ||
. | ||
Most kiszámolva a parciális deriváltak értékeit: | ||
. | ||
A parciális deriváltak értékeiből már elő tudjuk állítani a gradienst: | ||
. | ||
18. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Először a parciális deriváltakat kell kiszámolni. A deriválás során használnunk kell a szorzatra és az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályokat is: | ||
. | ||
Ezek ismeretében már elő tudjuk állítani a gradienst a pontban: | ||
. | ||
19. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Először meg kell határoznunk a gradiens vektort az adott pontban. A parciális deriváltak meghatározásánál alkalmaznunk kell a szorzat függvény és az összetett függvény deriválási szabályát: | ||
. | ||
Eszerint a gradiens vektor az pontban: | ||
. | ||
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | ||
. | ||
Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni: | ||
. | ||
20. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Első lépés a gradiens előállítása az adott pontban: | ||
. | ||
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | ||
. | ||
Ekkor a keresett iránymenti derivált: | ||
. | ||
21. feladat: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! | ||
Megoldás: Elsőként határozzuk meg az érintési pont harmadik koordinátáját: | ||
. | ||
Most számítsuk ki a parciális deriváltak értékeit a pontban. A függvény mindkét változója szerint összetett függvény. | ||
Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő: | ||
. | ||
Tehát a keresett sík egyenlete: | ||
. | ||
Rendezve a szokásos alakra: | ||
. | ||
22. feladat: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | ||
Megoldás: Az függvény ebben a feladatban is folytonos második deriváltakkal rendelkezik, és értelmezési tartománya a teljes sík, így szélsőértéke csak a stacionárius pontokban lehet. A stacionárius pontokat meghatározó elsőrendű parciális deriváltak: | ||
. | ||
A stacionárius pontokat megadó egyenletrendszer: | ||
. | ||
Az első egyenletet alakítsuk szorzattá: | ||
. | ||
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, tehát első esetben: | ||
. | ||
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | ||
, | ||
ami soha nem teljesül, mivel e-t bármire is emeljük, mindig pozitív számot kapunk eredményül. Tehát ezen az ágon az egyenletrendszernek megoldása nincs. | ||
Második esetben a szorzat második tényezője legyen nulla: | ||
. | ||
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | ||
. | ||
Az egyenletből még az eredmény is kiszámolható, de azt már az előző részben láttuk, hogy nem lesz megoldás. | ||
Visszahelyettesítve a kapott eredményt: | ||
. | ||
Eszerint két stacionárius pont van: | ||
és . | ||
Következő lépésben előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot. | ||
. | ||
Most a stacionárius pontok vizsgálata következik: | ||
és , | ||
ezért a pontban maximum hely van. A maximum értéke: . | ||
és | ||
ezért A pontban is maximum hely van. A maximum értéke: . | ||
| ||
23. feladat: Határozza meg az függvény lokális szélsőértékeit! | ||
Megoldás: Mivel a függvény nevezőjében szerepel x és y, ezért az értelmezési tartomány a teljes sík, kivéve a két koordináta tengelyt pontjai. Ahol a függvény értelmezve van, ott a parciális deriváltjai is léteznek. | ||
. | ||
Meg kell oldani az alábbi egyenletrendszert: | ||
. | ||
Az első egyenletből kapható, ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | ||
egyenlethez jutunk. Ennek két valós gyöke van, az és az . A megfelelő y értékek rendre: és . Ennek megfelelően két stacionárius pont van: | ||
és . | ||
Következnek a másodrendű parciális deriváltak és a Hesse mátrix: | ||
. | ||
. | ||
A stacionárius pontok vizsgálata: | ||
és , | ||
ezért a pont minimum hely. A minimum értéke . | ||
és , | ||
ezért a pont is minimum hely. A minimumértéke: . | ||
| ||
24. feladat: Bontsa fel a 12-t három részre úgy, hogy a kapott számok szorzata maximális legyen! | ||
Megoldás: Legyen a keresett három rész: x, y és . Képezzük ezek szorzatát, mivel ezek szorzatának maximumát keressük. Az így kapott szorzat valójában egy kétváltozós függvény. | ||
. | ||
A szélsőérték meghatározása a szokásos módon történik. | ||
. | ||
Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat, majd alakítsunk szorzattá: | ||
Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz | ||
vagy | ||
Ha , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe | ||
. | ||
A kapott értékeket visszahelyettesítve: | ||
Tehát ezen az ágon két stacionárius pontot kaptunk: | ||
Ha , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe: | ||
. | ||
Megoldva a kapott másodfokú egyenletet, majd a kapott eredményt visszahelyettesítve: | ||
. | ||
Ezen az ágon további két stacionárius pontot kaptunk: | ||
Írjuk fel a Hesse mátrixot. | ||
. | ||
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőérték helyek-e vagy sem. | ||
, ezért a pont nyeregpont. | ||
és , ezért a pont lokális maximum hely. | ||
, ezért a pont nyeregpont. | ||
, ezért a pont is nyeregpont. | ||
Tehát a keresett három rész: 4, 4 és 4, azaz a 12-t három egyenlő részre kell osztani ahhoz, hogy ezek szorzata maximális legyen. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
16. Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | |||||||||
17. Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | |||||||||
18. Legyen . Határozzuk meg a gradiens értékét a pontban? ![]() | |||||||||
19. Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! ![]() | |||||||||
20. Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! ![]() | |||||||||
21. Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() | |||||||||
22. Az függvénynek...
![]() |