KURZUS: Matematika 2.
MODUL: II. modul: Síkgörbék
6. lecke: Paraméteres síkgörbék
Elméleti összefoglaló | |||
Tekintsük a következő ábrán látható síkgörbét. Ez tekinthető az , függvény grafikonjának, az implicit módon megadott függvény téglalapba eső darabjának, azoknak a pontoknak a mértani helyének a síkon, amelyek az origótól egység távolságra vannak és a második koordinátájuk nem negatív. | |||
Végül úgy is tekinthetünk erre a vonalra, mint egy síkban mozgó test egy pontjának a pályájára. | |||
| |||
Ha a síkgörbe ezt akarja reprezentálni, akkor az előző három leírás mindegyikével kapcsolatban hiányosságok merülnek fel. Például egyikből sem derül ki, hogy melyik a kezdőpont, melyik irányban haladt végig a test a pályáján, a mozgás kezdete után időponttal a pálya melyik pontjában volt éppen a test megfigyelt pontja. | |||
Egy mozgó pont pályáját, egy síkgörbét, matematikailag úgy is le lehet írni, hogy megadjuk, hogy a mozgás kezdete után egy időpontban mi mozgó pont két, -től nyilván függő, koordinátája. | |||
Kicsit pontosabban egy síkgörbe paraméteres megadása esetén megadunk két, ugyanazon az intervallumon értelmezett és függvényt, és tekintjük a síkon az összes koordinátájú pontot. A görbe paraméterezése a | |||
formula. | |||
Az és formulákat paraméteres egyenleteknek hívjuk, az intervallum a paraméter intervallum. | |||
| |||
Az pont a görbe kezdőpontja, a pont a görbe végpontja. | |||
Példaként tekintsük a | |||
paraméterezést. Az alábbi ábrán a görbét látjuk, néhány paraméterértékhez tartozó pontot külön is feltüntetve, és a görbe bejárásának irányát is. | |||
| |||
Hasonlóan az implicit formulával adott görbékhez, a paraméteresen megadott görbéknek is általában számos olyan darabja van, amelyek tekinthetők egy egyváltozós függvény grafikonjának is. Az ilyen darabokat az eredeti paraméter intervallum egy részintervallumának a megadásával lehet kijelölni. Például a | |||
paraméterezéssel megadott görbe egy origó középpontú sugarú kör. Ennek a második síknegyedbe eső része az , függvény grafikonja. Ennek a görbedarabnak a paraméterezése . | |||
Az alábbi ábra mutatja a görbét és a bejárás irányát. | |||
| |||
Tekintsük az paraméterezést. Tegyük fel, hogy az és függvények deriválhatók az intervallumban és folytonosak is, továbbá egyetlen intervallumba eső -re sem. Ekkor a paraméterezés egy olyan görbét definiál amely tekinthető egy , függvény grafikonjának. Ennek a függvénynek a deriváltja a paraméterértékhez tartozó helyen | |||
. | |||
Ebből következik, hogy a görbe -hoz tartozó pontjához tartozó érintő meredeksége , és az érintő egyenlete | |||
. | |||
Általában az formulát paraméteres deriváltnak hívjuk. | |||
A paraméterezésű görbe sima, ha az és függvények differenciálhatók a nyílt intervallumon, és az intervallumban nincs olyan paraméterérték, amelyre egyszerre nulla az és a derivált is. | |||
Az, hogy egy görbe sima azt jelenti, hogy görbének nincs éles csúcspontja, ha a görbét elég közelről nézzük, akkor kisimul, minden kis darabja jó közelítéssel egyenes. | |||
A paraméterezésű sima görbének vízszintes érintője van abban a paraméterhez tartozó pontban, ahol , és ugyanakkor . Függőleges érintője van abban a paraméterhez tartozó pontban, ahol , és ugyanakkor . | |||
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat. Tekintsük a paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres deriváltat. | |||
Megoldás: A paraméterezésről leolvassuk, hogy , ezért . Hasonlóan , tehát . Ezeket az formulába helyettesítve a paraméteres derivált | |||
2. feladat. Tekintsük a paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres deriváltat. | |||
Megoldás: Ugyanúgy eljárva, mint az előbb kapjuk, hogy , így , és , amiből . Ezek felhasználásával a paraméteres derivált | |||
. | |||
3. feladat. Tekintsük a paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres derivált értékét a paraméterérték esetén. | |||
Megoldás: Mivel , ezért , továbbá , amiből . Ezek felhasználásával a paraméteres derivált | |||
. | |||
Végül ennek helyettesítési értéke -ben | |||
. | |||
4. feladat. Tekintsük a paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres derivált értékét a paraméterérték esetén. | |||
Megoldás: Most , tehát , és , tehát . Ezekből a paraméteres derivált | |||
. | |||
Ennek helyettesítési értéke a értékre | |||
. | |||
5. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe paraméterhez tartozó érintőjét. | |||
Megoldás: Először meghatározzuk az érintési pont koordinátáit. Mivel , , hasonlóan , . Az érintési pont tehát a pont. A következő lépés a paraméteres derivált előállítása. Felhasználva, hogy és , kapjuk, hogy | |||
. | |||
ennek helyettesítési értéke a értékre | |||
. | |||
A keresett érintő meredeksége tehát . A paraméterhez tartozó érintő egyenlete tehát | |||
. | |||
6. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe paraméterhez tartozó érintőjét. | |||
Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kezdünk. Most , , és , . tehát az érintési pont a pont. A paraméteres derivált | |||
. | |||
Ebbe helyettesítünk -t, | |||
. | |||
A keresett érintő meredeksége így . Ezután már könnyű felírni az érintő egyenletét: | |||
. | |||
7. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe ponton átmenő érintőjét. | |||
Megoldás: Azzal kezdjük, hogy megvizsgáljuk, hogy a pont illeszkedik-e a görbére. Azt keressük, hogy van-e olyan érték, amelyre teljesül az | |||
egyenletrendszer. Az első egyenletből , ha ezt a másodikba beírjuk , tehát ez az egyenlet is teljesül. Így a pont illeszkedik a görbére, a paraméterértékhez tartozik. Most a paraméteres derivált, mivel , és , | |||
. | |||
Ennek a helyen vett helyettesítési értéke adja az érintő meredekségét, ami tehát | |||
. | |||
Ezek felhasználásával az érintő egyenlete | |||
. | |||
8. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe ponton átmenő érintőjét. | |||
Megoldás: Ismét az az első, hogy ellenőrizzük vajon a pont illeszkedik-e a görbére. Ez akkor teljesül, ha megoldható a | |||
egyenletrendszer. Az első egyenletből vagy . Ha a második egyenletbe helyettesítünk az nem teljesül, ha viszont -et akkor igen, hiszen . A pont ezek szerint a paraméterhez tartozik. Most a paraméteres derivált | |||
. | |||
Az érintő meredeksége tehát | |||
. | |||
Így az érintő egyenlete | |||
. | |||
9. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe meredekségű érintőjének egyenletét. | |||
Megoldás: Nem ismert az érintési pont, annak meghatározásával kezdünk. Pontosabban, kiszámoljuk, hogy az érintési pont milyen paraméterhez tartozik. Tudjuk, hogy | |||
. | |||
Ebből . Két olyan pont is van tehát a görbén, amelyben az érintő meredeksége , a és a pont. | |||
A pontban húzott érintő egyenlete | |||
. | |||
A pontban húzott érintő egyenlete | |||
. | |||
10. feladat. Írjuk fel a paraméterezésű görbe meredekségű érintőjének egyenletét. | |||
Megoldás: Most sem ismert az érintési pont. De mivel | |||
, | |||
az érintési pontot meghatározó paraméter kielégíti a | |||
egyenletet. Ennek két megoldása van: , és . | |||
A paraméterhez tartozó érintési pont , az itteni érintő tehát | |||
. | |||
Hasonlóan a paraméterhez tartozó érintési pont , az itt húzható érintő egyenlete | |||
. | |||
11. feladat. Határozzuk meg, hogy a paraméterezésű görbe melyik pontjában vízszintes, és melyik pontjában függőleges az érintője. | |||
Megoldás: A paraméteres derivált most | |||
. | |||
A számláló most -ben nulla, a nevező egyik esetben sem, a görbe tehát sima. | |||
Tudjuk, hogy vízszintes az érintő abban a nyílt intervallumba eső paraméterértékhez tartozó pontban, ahol ennek a törtnek a számlálója nulla, de a nevezője nem. | |||
Ezért vízszintes az érintő a paraméterhez tartozó pontban és az paraméterhez tartozó pontban. | |||
Függőleges az érintő abban a nyílt intervallumba eső paraméterértékhez tartozó pontban, ahol a paraméteres deriváltat megadó tört nevezője nulla, de a számlálója nem. Ez most a paraméterértékre teljesül. Az ehhez tartozó pont a pont. | |||
12. feladat. Határozzuk meg, hogy a paraméterezésű görbe melyik pontjában vízszintes, és melyik pontjában függőleges az érintője. | |||
Megoldás: Tekintjük a paraméteres deriváltat: | |||
. | |||
Ennek számlálója nulla -ben és -ben, a nevezője nulla -ben és -ben. A számlálónak és a nevezőnek nincs tehát közös gyöke, ez a görbe is sima, és ezek az értékek mind a nyílt intervallumba esnek. | |||
Ezek után a görbének vízszintes az érintője az és paraméterértékhez tartozó és pontokban. | |||
Végül a görbének függőleges az érintője az és paraméterértékhez tartozó és pontokban. Az alábbi ábrán a görbét, és ezeket a pontokat látjuk. | |||
| |||
Elméleti összefoglaló | |||
A síkgörbék egyik legfontosabb numerikus jellemzője a görbe ívhossza, amit intuitívan úgy képzelhetünk el, mintha a görbe vékony nyújthatatlan fonálból lenne, és azt feszesre húznánk. | |||
Tekintsünk egy paraméterezésű sima görbét. Osszuk fel az intervallumot a osztópontokkal darab egyenlő hosszú részintervallumra, és legyen , , ahogy azt az alábbi ábrán látjuk. Ekkor a pontok a görbén fekszenek és kiszámolható a pontok által meghatározott töröttvonal hossza, ami persze a szakaszok hosszának az összege. A szakasz hossza nyilván | |||
, | |||
így a töröttvonal hossza | |||
. | |||
| |||
Ez az összeg közelíti a görbe ívhosszát: , és érezzük, hogy ez a közelítés | |||
annál jobb, minél több részre osztjuk az intervallumot. | |||
Megmutatható, hogy a fenti módon konstruált beírt töröttvonalak hossza sima görbe esetén konvergál egy számhoz, ha az intervallum felosztásainak egy minden határon túl finomodó felosztássorozatát tekintjük. Ezt a számot hívjuk a görbe intervallumhoz tartozó ívének az ívhosszának. Erre az ívhosszra a következő tétel bizonyítható. | |||
Tétel: Ha a paraméterezésű sima görbe nem metszi önmagát kivéve esetleg a és paraméterekhez tartozó pontokat, akkor a görbe intervallumhoz tartozó ívének ívhossza | |||
. | |||
Egy sima görbe biztosan nem metszi önmagát, ha az és a függvények valamelyike szigorúan monoton -n. | |||
Kidolgozott feladatok | |||
13. feladat. Tekintsük a paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát. | |||
Megoldás: A feladatban és . Mindkét függvény deriválható, a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét koordináta függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula. Mivel és , | |||
. | |||
A görbénk ívhossza tehát . | |||
14. feladat. Tekintsük a paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát. | |||
Megoldás: A mostani feladatban és . Mindkét függvény deriválható, és , a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula. Tehát | |||
. | |||
15. feladat. Tekintsük a paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát. | |||
Megoldás: Mivel és , látjuk hogy mindkét függvény deriválható, és , a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula. | |||
. | |||
A továbbiakban nem vizsgáljuk a fenti integrál képlet alkalmazhatóságának feltételei, hanem ívhossz számítás során feltesszük, hogy azok teljesülnek. | |||
16. feladat. Tekintsük a paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát. | |||
Megoldás: Mivel most és , és . Ezért az ívhossz | |||
. | |||
Az ívhosszt megadó integrálást csak néhány esetben lehet egyszerű módszerekkel elvégezni. Az egyik szerencsés eset, ha a gyök alatti mennyiség valaminek a négyzete. Ekkor ugyanis elvégezhető a fő nehézséget okozó gyökvonás. | |||
17. feladat. Tekintsük a paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát. | |||
Megoldás: Ebben a feladatban , és . Így | |||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. A paraméteres alakban adott függvény esetén a paraméteres derivált
![]() | |||||||||
2. A paraméteres alakban adott függvény esetén a paraméteres derivált értéke -ben
![]() | |||||||||
3. A paraméterezésű görbe érintője -ban
![]() | |||||||||
4. A paraméterezésű görbe érintője a pontban
![]() | |||||||||
5. A paraméterezésű görbe meredekségű érintői
![]() | |||||||||
6. A paraméterezésű görbét melyik pontjában vízszintes az érintője?
![]() | |||||||||
7. A paraméterezésű görbét melyik pontjában függőleges az érintője?
![]() | |||||||||
8. Mennyi a görbe ívhossza?
![]() | |||||||||
9. Mennyi a görbe ívhossza?
![]() | |||||||||
10. Mennyi a görbe ívhossza?
![]() |