KURZUS: Matematika 2.

MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai

2. lecke: A derivált és a függvény konvexitása közötti kapcsolat

Tanulási cél: A másodrendű derivált és a konvexitás közötti kapcsolat megismerése, a függvények konvexitás és inflexiós pont szempontjából való jellemzése.

Elméleti összefoglaló

A Matematika 1. tantárgy A derivált alkalmazásai című leckéjében láttuk, hogy az elsőrendű derivált előjele meghatározza a függvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a függvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a függvény konvexitására vonatkozóan.

Elsőként definiáljuk a konvexitás fogalmát szemléletes módon.

Definíció: Egy intervallumon értelmezett valós függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad. Egy intervallumon értelmezett valós függvény konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad.

Tétel: Legyen az f  függvény az [ a,b ]  zárt intervallumon folytonos és az ( a,b )  nyílt intervallumon differenciálható. Az f  függvény az [ a,b ] -n akkor és csak akkor konvex, ha f (x)  az ( a,b ) -n szigorúan monoton nő, illetve az f  függvény az [ a,b ] -n akkor és csak akkor konkáv, ha f (x)  az ( a,b ) -n szigorúan monoton csökkenő.

Tétel: Legyen az f  függvény kétszer differenciálható ( a,b ) -n. Az f  függvény akkor és csak akkor konvex az [ a,b ] -n, ha f (x)>0   ( a,b ) -n, illetve az f  függvény akkor és csak akkor konkáv az [ a,b ] -n, ha f (x)>0   ( a,b ) -n.

Definíció: Legyen f  folytonos ( a,b ) -n és c( a,b ) . Ha f  konvex ( a,c ) -n és konkáv ( c,b ) -n, vagy konkáv ( a,c ) -n és konvex ( c,b ) -n, akkor c  inflexiós pontja f-nek.

Tétel: Legyen f  a c  hely környezetében kétszer differenciálható. Ha a c  pontban f-nek inflexiós pontja van, akkor f (c)=0 .

Fontos megjegyezni, hogy a tétel megfordítása nem igaz. Abból, hogy az f (c)=0 , még nem következik, hogy c  inflexiós pont.

Tétel: Ha f  kétszer differenciálható c-ben és f (c)=0 , továbbá ( a,c ) -n f >0  és ( c,b ) -n f <0 , vagy ( a,c ) -n f <0  és ( c,b ) -n f >0 , azaz f   c-ben előjelet vált, akkor c  inflexiós pontja f-nek.

A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk a függvényeket konvexitás és inflexiós pont szempontjából.

1.Megvizsgáljuk, hogy mi a legbővebb halmaz, amelyen a függvény értelmezhető.
2.Kétszer deriváljuk a függvényt.
3.Megoldjuk az f ( x )=0  egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol inflexiós pont lehet.
4.Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a másodrendű derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s az adott részeken megvizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba behelyettesítünk.
5.Az értelmezési tartomány egyes részein a másodrendű derivált előjeléből következtetünk a konvexitásra.

Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat.

Ez a fenti módszer ismerős lehet, mivel hasonló módon végeztük a függvények monotonitására és szélsőértékére vonatkozó vizsgálatot (lásd Matematika 1. A derivált alkalmazásai című leckében).

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Az f(x)  függvény értelmezési tartománya D f = . Hol konvex az f(x)  függvény, ha második deriváltja f (x)=(x1) (x+6) 3 ?

Megoldás: Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konvex, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál (lásd Matematika 1. tárgyban A derivált alkalmazásai című leckében). Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második deriváltja, ott konvex a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény. Természetesen ilyenkor azzal kell kezdenünk, hogy megállapítjuk, hol értelmezhető a második derivált, és ezen a halmazon vizsgáljuk az előjelét. Jelen esetben minden valós számra értelmezhető a második derivált, azaz D f = .

Ezután határozzuk meg a második derivált zérushelyeit, azaz oldjuk meg az f (x)=0  egyenletet.

(x1) (x+6) 3 =0

Egy szorzat akkor egyenlő 0-val, ha valamelyik tényezője 0, így ez a szorzat két egyenletre bontható.

x1=0  vagy (x+6) 3 =0

Ezen egyenletek megoldásai: x=1  és x=6 .

Most hasonló táblázatot célszerű készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk egy függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyenlőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz.

x ( ,6 ) 6 ( 6,1 ) 1 ( 1, )
f (x)
f(x)

Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, ahogyan a korábbiakban vizsgáltunk előjelet, azaz mindegyik részből kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítettük. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére.

Ha pl. x<6 , akkor nyilván x1<0 , azaz a derivált első tényezője negatív. Persze ekkor x+6<0  is teljesül, amiből (x+6) 3 <0  is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz x<6  esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény.

Hasonlóan, ha 6<x<1 , akkor x1<0 , és x+6>0 (x+6) 3 >0 , azaz a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, hogy ezen az intervallumon konkáv a függvény.

Végül ha 1<x , akkor x1>0 , és x+6>0 (x+6) 3 >0 , tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konvex a függvény.

Mivel mindkét zérushelyén (x=6,x=1)  megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inflexiós pontja van a függvénynek.

Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is.

x ( ,6 ) 6 ( 6,1 ) 1 ( 1, )
f (x) + 0 0 +
f(x) konvex () inflexiós pontkonkáv () inflexiós pontkonvex ()

Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konvex, ha x<6  vagy ha 1<x . Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a (,6)(1,)  halmazon konvex.

2. feladat: Az f(x)  függvény értelmezési tartománya D f =\{ 3,4 } . Hol konkáv az f(x)  függvény, ha második deriváltja f (x)= 5 x (x+3)(x4) ?

Megoldás: Az előző feladat megoldásában ismertetettek szerint járunk el. Vizsgáljuk meg, hogy mely halmazon értelmezhető a függvény második deriváltja. Mivel a nevezőben nem állhat 0, így (x+3)(x4)0 , melyből x+30  és x40 . Ezekből következik, hogy x3  és x4 .

A második derivált értelmezési tartománya tehát: D f ={3,4} .

Ezután oldjuk meg az f (x)=0  egyenletet.

5 x (x+3)(x4) =0

Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk.

5 x =0

Ennek az egyenletnek azonban nincs megoldása, hiszen 5 x  értéke pozitív minden valós x  esetén. A második deriváltnak tehát nincs zérushelye, azaz nem lesz inflexiós pontja a függvénynek.

Mivel egy függvény előjele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve, így bár nincs a második deriváltnak zérushelye, de az értelmezési tartományt a szakadási helyek mégis részekre bontják. Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk.

x ( ,3 ) 3 ( 3,4 ) 4 ( 4, )
f (x) XX
f(x) XX

A szakadási helyeken egyből jelölhettük, hogy mivel ott nem létezik a második derivált, így a függvényről semmit sem mondhatunk.

Vizsgáljuk meg ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek számlálója minden x  esetén pozitív, így csak a nevezőt kell vizsgálnunk, ami egy szorzat. Itt megtehetjük, hogy külön vizsgáljuk a tényezők előjelét.

Ha x<3 , akkor x+3<0  és x4<0 , tehát a nevező pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebből következően a függvény konvex.

Ha 3<x<4 , akkor x+3>0  és x4<0 , tehát a nevező negatív, így a második derivált is negatív. Ebből következően a függvény konkáv.

Ha pedig 4<x , akkor x+3>0  és x4>0 , tehát a nevező pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebből következően a függvény konvex.

Immáron kitölthetjük a teljes táblázatot.

x ( ,3 ) 3 ( 3,4 ) 4 ( 4, )
f (x) +X X +
f(x) X X

A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a (3,4)  intervallumon konkáv.

3. feladat: Az f(x)  függvény értelmezési tartománya D f = . Hol van inflexiós pontja az f(x)  függvénynek, ha második deriváltja f (x)= (x7) 6 ( e x 1) ?

Megoldás: Most is a második derivált értelmezési tartományának vizsgálatával kezdjük. Jelen esetben ez az összes valós szám, azaz D f = .

Oldjuk meg az f (x)=0  egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet inflexiós pontja, ahol a második deriváltja 0.

(x7) 6 ( e x 1)=0

Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk.

(x7) 6 =0  vagy e x 1=0

Az első egyenlet megoldása nyilván x=7 . A második egyenletet rendezzük át.

e x 1=0 e x =1

Vegyük mindkét oldal logaritmusát.

ln( e x )=ln1

Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen x  szerepel.

x=ln1=0

A második egyenlet megoldása így x=0 .

Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az x=0  és az x=7 .

Ezek után a táblázat első sora kitölthető.

x ( ,0 ) 0 ( 0,7 ) 7 ( 7, )
f (x)
f(x)

Vizsgáljuk meg ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell foglalkoznunk.

Ha x<0 , akkor e x <1 , ezért e x 1<0 . Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a függvény.

Ha 0<x<7 , akkor e x >1 , ezért e x 1>0 . Így itt pozitív a második derivált, tehát konvex a függvény.

Ha 7<x , akkor e x >1 , ezért e x 1>0 . Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konvex a függvény.

Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az x=0  helyen előjelet vált a második derivált, így itt inflexiós pontja van a függvénynek. Viszont az x=7  helyen a második derivált nem vált előjelet, így itt nincs inflexiós pont.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ( ,0 ) 0 ( 0,7 ) 7 ( 7, )
f (x) 0 + 0 +
f(x) inflexiós pont nincs inflexiós pont

A függvénynek tehát az x=0  helyen van inflexiós pontja.

Összetettebb feladatok

4. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós ponthoz (pontokhoz) tartozó függvényértéket!

f(x)= x 3 +xlnx

Megoldás:Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell megvizsgálnunk. A logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés x>0 , azaz D f =( 0, ) .

Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt alkalmazzuk).

f (x)=3 x 2 +1lnx+x 1 x =3 x 2 +lnx+1

A második derivált előállítása:

f (x)=6x+ 1 x

Oldjuk meg az f (x)=0  egyenletet.

6x+ 1 x =0

Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy x  csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható:

6 x 2 +1=0

Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy az f( x )  függvénynek nincs inflexiós pontja. A ( 0, )  intervallumon 6 x 2 +1>0 , tehát a függvény ezen az intervallumon konvex.

5. feladat: Vizsgáljuk meg konvexitás és inflexiós pont szempontjából az f(x)=ln(4 x 2 +2)  függvényt.

Megoldás: Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 4 x 2 +2>0 . Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra fennáll, azaz a függvényminden valós számra értelmezhető, D f = .

Ezt követően meghatározzuk a másodrendű deriváltat, melyhez először az elsőrendű deriváltat kell kiszámolnunk. Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva kapjuk, hogy

f (x)= 1 4 x 2 +2 8x= 8x 4 x 2 +2 .

Erre a deriválási hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy

f (x)= 8(4 x 2 +2)(8x8x) (4 x 2 +2) 2 = 32 x 2 +1664 x 2 (4 x 2 +2) 2 = 32 x 2 +16 (4 x 2 +2) 2 .

Ezt követően megkeressük a másodrendű derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk a f ( x )=0  egyenletet.

32 x 2 +16 (4 x 2 +2) 2 =0

Egy tört értéke akkor 0, ha a számlálója 0. Ez alapján

32 x 2 +16=0

32 x 2 =16

x 2 = 1 2

x 1 = 1 2  és x 2 = 1 2 . Ezek lehetnek a függvény inflexiós pontjai. Hogy valóban azok-e, ahhoz ellenőriznünk kell, hogy a másodrendű derivált előjelet vált-e ezekben a pontokban. Ehhez az értelmezési tartományt és a lehetséges inflexiós pontokat tüntetjük fel a táblázat első sorában. Ez alapján a következő táblázatot kell kitöltenünk.

x ( , 1 2 ) 1 2 ( 1 2 , 1 2 ) 1 2 ( 1 2 , )
f ( x )
f( x )

A táblázat második sorában a másodrendű derivált előjeleit vizsgáljuk meg az adott tartományokon, s ebből határozzuk meg a konvexitást a következő sorban. Vegyünk egy 1 2 -nél kisebb számot. Legyen pl. 1 , s helyettesítsük ezt a másodrendű deriváltba.

f ( 1 )= 32 (1) 2 +16 (4 (1) 2 +2) 2 = 32 36

Negatív értéket kaptunk, tehát x< 1 2  esetén negatív a másodrendű derivált, ebből következően itt konkáv a függvény.

Ezt követően vegyünk egy 1 2  és 1 2  közé eső számot. Legyen pl. 0, s ezt is helyettesítsük be a másodrendű deriváltba.

f ( 0 )= 320+16 (40+2) 2 = 16 4 =4

Pozitív értéket kaptunk, tehát ha 1 2 <x< 1 2 , akkor pozitív a másodrendű derivált, s így itt konvex a függvény.

Végül vegyünk egy 1 2 -nél nagyobb számot is. Legyen pl. 1, és helyettesítsük ezt a másodrendű deriváltba.

f ( 1 )= 32+16 (4+2) 2 = 16 36

Negatív értéket kaptunk, így ha 1 2 <x  akkor negatív a másodrendű derivált, tehát ekkor konkáv a függvény.

Mivel a másodrendű derivált értéke az x= 1 2  és x= 1 2  helyen előjelet vált ( x= 1 2 -nél negatívból pozitívba, x= 1 2 -nél pozitívból negatívba), így ezeken a helyeken inflexiós pontja van a függvénynek.

Mindezeket az összefüggéseket tartalmazza az alábbi táblázat, mellyel válaszoltunk a feladatra.

x ( , 1 2 ) 1 2 ( 1 2 , 1 2 ) 1 2 ( 1 2 , )
f ( x ) 0 + 0
f( x ) konkáv inflexiós pontkonvex inflexiós pontkonkáv

6. feladat: Vizsgáljuk meg konvexitás szempontjából az f(x)= e 1 x  függvényt. Adjuk meg az inflexiós pont(ok) koordinátáit is!

Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben x0 , azaz D f =\{0} .

Ezután állítsuk elő a függvény második deriváltját, mert a konvexitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. Az első derivált előállításakor egy összetett függvényt deriválunk. A külső függvény az e x , a belső függvény pedig az 1 x .

f (x)= e 1 x ( 1 x ) = e 1 x ( x 1 ) = e 1 x ( x 2 )

A második deriválás során a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt használjuk.

f (x)= ( e 1 x ) ( x 2 )+ e 1 x ( x 2 ) =

= e 1 x ( x 2 )( x 2 )+ e 1 x ( 2 x 3 )= e 1 x x 4 +2 e 1 x x 3

Amint az korábban már szerepelt, ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. Figyeljünk oda, hogy a hatványokból azt emeljük ki, ahol kisebb a kitevő, s ez most az x 4 . Ha pedig az x 3 -ból kiemelünk x 4 -t, akkor ott x  fog maradni.

f (x)= e 1 x x 4 (1+2x)

A negatív kitevős hatvány helyett törtet is írhatunk. Így a második derivált a következő alakot ölti:

f (x)= e 1 x 1+2x x 4

Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az f (x)=0  egyenletet.

e 1 x 1+2x x 4 =0

Tudjuk, hogy egy szorzat akkor zérus, ha valamelyik tényezője zérus. Az első tényező nem lehet egyenlő 0-val, hiszen az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel. Ennek következtében elég csak a második tényezőben levő törtet vizsgálnunk.

1+2x x 4 =0

De a tört csak úgy lehet 0, ha a számlálója 0, így az egyenlet még tovább egyszerűsödik.

1+2x=0

Ennek megoldása pedig x=0.5 .

Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre.

x ( ,0.5 ) 0.5 ( 0.5,0 ) 0 ( 0, )
f (x) X
f(x) X

Vizsgáljuk meg ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Ehhez a kiemelést követően kapott szorzattá alakított formát célszerű használni. Az e 1 x , valamint az x 4  csak pozitív értékeket vehet fel, így elég csak az 1+2x  előjelét vizsgálnunk.

Ha x<0.5 , akkor 1+2x<0 , így a derivált negatív, s ebből következően itt konkáv a függvény.

Ha 0.5<x<0 , akkor 1+2x>0 , s ezért itt konvex a függvény.

Ha pedig 0<x , akkor 1+2x>0  ismét, így itt is konvex a függvény.

Az x=0.5  helyen előjelet vált a második derivált, így ezen a helyen inflexiós pontja van a függvénynek.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ( ,0.5 ) 0.5 ( 0.5,0 ) 0 ( 0, )
f (x) 0 +X +
f(x) inflexiós pont X

Ezután már csak az inflexiós pont második koordinátáját kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a függvénybe az x=0.5  értéket, ahol az inflexiós pont van.

f(0.5)= e 1 0.5 = e 2

Az inflexiós pont koordinátái tehát: (0.5, e 2 )

Ellenőrző kérdések
1. Az f(x)  függvény értelmezési tartománya D f = . Mely intervallumo(ko)n konkáv az f (x)= ( x2 ) 4 ( x+1 )  függvény?
( ,1 )
( 1,2 )
( 2, )
( 1,2 )  és ( 2, )
2. Az f(x)  függvény értelmezési tartománya D f =\{8,5} . Mely intervallumo(ko)n konvex az f (x)= 2 e x ( x8 ) ( x+5 ) 2  függvény?
( 5,8 )
( ,5 )  és ( 5,8 )
( 8, )
( ,5 )  és ( 8, )
3. Hány inflexiós pontja van az f (x)=( lnx1 ) ( x+3 ) 5  függvénynek?
0
1
2
3
4. A következő intervallumo(ko)n konkáv az f (x)=1lg( x 2 +6 )  függvény
( ,2 ) .
( 2,2 ) .
( 2, ) .
( ,2 )  és ( 2, ) .
5. Az f(x)=ln(1+3 x 2 )  függvény inflexiós pontjának (pontjainak) koordinátái:
( 1 3 ,ln2 ) .
( 3 ,ln10 ) .
( 3 3 ,ln2 )  és ( 3 3 ,ln2 ) .
( 3 ,ln10 )  és ( 3 ,ln10 ) .
6. Hány inflexiós pontja van az f( x )= x 5 30 x 3 +2  függvénynek?
0
1
2
3
7. Az f( x )= e x ( x1 )  függvény inflexiós pontjának függvényértéke
e 2
e 2 1
2 e
2e
8. Hány inflexiós pontja van az f( x )=4 x 3 +xlnx  függvénynek?
0
1
2
3
9. Hány inflexiós pontja van az f( x )= 3 2 x 3 +xxlnx  függvénynek?
0
1
2
3