KURZUS: Matematika 2.
MODUL: VI. modul: Lineáris algebra
14. lecke: Mátrixok, determinánsok
Tanulási cél: Ebben a modulban megismerkedünk a lineáris algebra legfontosabb fogalmaival. Ezek közül a legalapvetőbb a mátrix fogalma. A lineáris algebra egyik központi problémája a lineáris egyenletrendszerek megoldása. Kiderült, hogy itt a mátrixok és determinánsok nagyon hatékonyan felhasználhatók. A lineáris algebra másik fontos területe a lineáris transzformációk tanulmányozása. Ebben ismét csak a mátrixok játszanak kulcs szerepet a sajátértékek és sajátvektorok mellet. | ||
A modul fő célja az itt említett fogalmak megismertetése, és a velük kapcsolatos legfontosabb számítások begyakoroltatása. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Számadatokat sokszor célszerű táblázatos formába rendezni. Az ilyen táblázatokat hívjuk mátrixoknak. Mi csak olyan mátrixokkal fogunk foglalkozni, amelyek valós számokból épülnek fel. | ||
Ha az mátrixnak sora és oszlopa van, akkor azt mondjuk, hogy a mátrix típusú, és ezt így fogjuk jelölni: . Az mátrix elemeire kettős indexeléssel hivatkozunk: jelöli az mátrix -edik sorának -edik elemét. | ||
Például az | ||
mátrix típusú, és . Szokás a két index közötti vesszőt nem kiírni, ha nem kell félreértéstől tartani. | ||
Két mátrix egyenlő, ha azonos a típusuk, és az azonos indexű elemeik egyenlők. | ||
A mátrixok körében műveleteket definiálhatunk, amelyek segítségével adott mátrixokból újabbakat készíthetünk. | ||
Legyen , és tetszőleges szám. Ekkor az mátrix -szorosa az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. | ||
Tehát egy mátrixot úgy szorzunk meg egy számmal, hogy minden elemét megszorozzuk a számmal. | ||
Legyen . (Azaz legyen és két tetszőleges típusú mátrix.) Ekkor és összege az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. Tehát azonos típusú mátrixok összeadhatók, és az összeg elemeit úgy kapjuk, hogy rendre összeadjuk az azonos indexű elemeket. | ||
Legyen . Ekkor és különbsége az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. | ||
Nyilvánvaló, hogy . | ||
A számmal szorzásra és az összeadásra érvényesek a következő tételek. Ezeket, és a későbbi tételeket is, mindig úgy kell érteni, hogy, ha az összefüggések egyik oldalán álló műveleteket el lehet végezni, akkor elvégezhetők a másik oldalon álló műveletek is, és az eredményül kapott mátrixok egyenlők. | ||
Tétel. Legyen , . Ekkor | ||
. | ||
. | ||
, azaz a számmal szorzás disztributív az összeadásra nézve. | ||
, azaz az összeadás kommutatív. | ||
, azaz az összeadás asszociatív. | ||
A mátrixok szorzásának definíciója kicsit bonyolultabb az eddigi műveletek definíciójától. | ||
Legyen és , vagyis az mátrixnak legyen oszlopa, a mátrixnak pedig sora. Ekkor és szorzata az a mátrix, amelynek típusa és | ||
minden és esetén. | ||
Tehát a szorzat mátrix -edik sorának -edik elemét úgy kapjuk, hogy az elöl álló mátrix -edik sorának az elemeit rendre megszorozzuk a hátul álló mátrix -dik oszlopának elemeivel, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. | ||
Azt a feltételt, hogy szorzáskor az elöl álló mátrixnak annyi oszlopa kell, hogy legyen, mint ahány sora a hátul álló mátrixnak van, kompatibilitási feltételnek hívjuk. | ||
Például legyen és . Ekkor az mátrix típusa , a mátrix típusa , teljesül tehát a kompatibilitási feltétel, (a két bekeretezett szám egyenlő). Létezik tehát a szorzatmátrix, amelynek típusa . Sorra kiszámoljuk a elemeit. | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
. | ||
Vagyis azt kaptuk, hogy | ||
. | ||
A szorzat ebben az esetben nem létezik, mert a típusok rendre és , és a bekeretezett számok nem egyenlők, nem teljesül a kompatibilitási feltétel. | ||
Legyen . Ekkor transzponáltja az az mátrix, amelynek típusa , és minden és esetén. | ||
Tehát a transzponálás során az eredeti mátrix első sora lesz a transzponált első oszlopa, második sora a transzponált második oszlopa, és így tovább. A transzponálás felcseréli a sorokat és az oszlopokat. | ||
Az előbbi szorzás során szerepelt mátrix esetén | ||
. | ||
A következő tétel a szorzással és a transzponálttal kapcsolatos azonosságokat foglalja össze. | ||
Tétel. Feltéve, hogy a formulákban szükséges kompatibilitási feltételek mind teljesülnek | ||
, | ||
, a szorzás nem kommutatív, | ||
, a szorzás asszociatív, | ||
, és , a szorzás disztributív az összeadásra, | ||
, | ||
. | ||
Az típusú mátrixokat négyzetes mátrixoknak hívjuk. Egy négyzetes mátrixnak tehát annyi sora van ahány oszlopa. | ||
Minden négyzetes mátrixhoz hozzá lehet rendelni egy számot, a mátrix determinánsát, amit fog jelölni. | ||
Az típusú mátrix determinánsát megkapjuk, ha az -edik sor minden elemét megszorozzuk az elemhez tartozó előjeles aldeterminánssal, és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Az -edik sor -edik eleméhez (azaz -hez) tartozó előjeles aldeterminánst úgy kapjuk, hogy töröljük az mátrix -edik sorát és -edik oszlopát, és a kapott típusú mátrix determinánsát megszorozzuk -vel. | ||
Ezt hívjuk az -edik sor szerinti kifejtésnek. A kifejtésben szereplő típusú mátrixok determinánsát ugyanígy valamelyik soruk szerint kifejtve még eggyel kisebb méretű determinánsokat kapunk, és így tovább. Végül csupa típusú mátrix determinánsát kapjuk. Az mátrix determinánsa pedig | ||
. | ||
Ugyanilyen módon egy determinánst bármelyik oszlopa szerint is ki lehet fejteni. | ||
Példaként kiszámoljuk az | ||
mátrix determinánsát úgy, hogy kifejtjük a sora szerint. | ||
. | ||
Ugyanennek a mátrixnak a determinánsa kifejtve az első oszlopa szerint | ||
. | ||
A két végeredmény természetesen ugyanaz. | ||
Egy típusú mátrix determinánsát először vissza kell vezetni darab méretű mátrix determinánsára, és azokat a fenti módon kiszámítani. Látható, hogy ez igen fáradságos. Ezért nagy jelentősége van az olyan tételeknek, amelyekkel ezt az eljárást egyszerűsíteni lehet. Ezek közül a legfontosabb az alábbi. | ||
Tétel. Legyen típusú mátrix. Tekintsük az mátrix -edik és -edik sorát, ahol . Ha az -edik sort elemenként megszorozzuk tetszőleges számmal és azt elemenként hozzáadjuk a -edik sorhoz, a többi sort pedig változatlanul hagyjuk, akkor az így kapott új mátrixnak ugyanannyi a determinánsa, mint az eredetinek. Ezt az átalakítást így fogjuk jelölni: . | ||
Ennek a tételnek az ismételt alkalmazásával elérthető, hogy az eredeti mátrixot átalakítsuk úgy, hogy egy általunk kiválasztott oszlopának egy kivételével minden eleme nullává váljon, és a determináns értéke mégsem változik. Ha ezután a determinánst kifejtjük ezen oszlopa szerint csak egy darab eggyel kisebb méretű determinánst kell kiszámolnunk, a többi ugyanis a kifejtésben úgyis nullával szorzódna. | ||
Például, ha az előbbi mátrix első sorának mínusz kétszeresét hozzáadjuk a második sorhoz, akkor ezt kapjuk: | ||
, | ||
és itt a jobb oldalon álló mátrixnak ugyanannyi a determinánsa, mint -nak. Ha most a jobb oldali mátrix első sorának mínusz háromszorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz a kapott mátrixnak ismét annyi marad a determinánsa, mint az eredeti -nak: | ||
. | ||
Erről könnyen meggyőződhetünk, hiszen ha az utolsó mátrix determinánsát úgy számoljuk ki, hogy kifejtjük az első oszlopa szerint, akkor | ||
. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat. Legyen , és . Számoljuk ki a mátrixot. | ||
Megoldás: Mindkét mátrix típusú, és ilyen minden számszorosuk is, tehát a kijelölt műveletek elvégezhetők. A számmal való szorzás és az összeadás definíciójából következik, hogy ezeket a műveleteket elemenként kell elvégezni. Például | ||
. | ||
hasonlóan számolva a többi elemet | ||
. | ||
2. feladat. Legyen , és . Számítsuk ki a mátrixot. | ||
Megoldás: Mint az előbb, most is azzal kezdünk, hogy ellenőrizzük, hogy a kívánt műveleteket el lehet-e végezni. Most a szorzatban az elöl álló mátrix, a , típusa , a hátul álló mátrixé , tehát teljesül a kompatibilitási feltétel, a két mátrix ebben a sorrendben szorozható, és a szorzat típusa . A mátrixok szorzásának definíciója alapján például | ||
. | ||
Hasonlóan számolva a többi elemet | ||
. | ||
3. feladat. Az előző feladatban megadott és mátrix esetén számoljuk ki a szorzatot is. | ||
Megoldás: Ez a szorzat is létezik, mert most az elöl álló mátrix típusa , a hátul állóé , teljesül a kompatibilitási feltétel, és a szorzat mátrix típusa . Például a | ||
. | ||
Hasonlóan számolva a többi elemet | ||
. | ||
4. feladat. Legyen . Számoljuk ki az mátrixot. | ||
Megoldás: Az persze azt jelenti, hogy -t önmagával szorozzuk: . Mivel négyzetes mátrix, ez a szorzás elvégezhető, és is típusú. A szorzást úgy a legbiztonságosabb elvégezni, hogy először egymás mellé leírjuk a szorzatban szereplő sorrendben a mátrixokat. | ||
Ezután az elöl álló mátrix első sorát és a hátul álló mátrix első oszlopát elemenként szorozva és a szorzatokat összeadva kapjuk a szorzat első sorának első elemét. | ||
Az elöl álló mátrix első sorát és a hátul álló mátrix második oszlopát elemenként szorozva és a szorzatokat összeadva kapjuk a szorzat első sorának második elemét. És így tovább. | ||
. | ||
5. feladat. Legyen , és . Számoljuk ki a mátrixot. | ||
Megoldás: Az egyik lehetséges számolási mód a következő: először kiszámoljuk -t, majd , és a megfelelő sorrendben kivonjuk ezeket egymásból. Mivel | ||
. | ||
Ezután, felhasználva, hogy , és így , | ||
. | ||
A másik lehetőség, hogy a műveleti azonosságokat felhasználva átalakítjuk a kiszámolandó formulát. Ekkor | ||
. | ||
Ennek az átalakításnak az az előnye, hogy így csak egy szorzást kell végrehajtani. Felhasználva, hogy , kapjuk, hogy | ||
. | ||
A végeredmény persze ugyanaz, mint az előbb. | ||
6. feladat. Számoljuk ki az mátrix determinánsát. | ||
Megoldás: Tudjuk, hogy egy determináns bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető. Kifejtjük most a második sora szerint. Ekkor | ||
. | ||
7. feladat. Számoljuk ki az mátrix determinánsát. | ||
Megoldás: Átalakítjuk úgy a mátrixunkat, hogy a determinánsa ne változzon, de az első oszlopában az első elemen kívül minden elem nulla legyen. Tudjuk az említett tételből, hogy ennek érdekében az első sor mínusz kétszeresét kell a második sorhoz hozzáadni, illetve az első sor mínusz egyszeresét kell a harmadik sorhoz hozzáadni. Ez a két átalakítás egy lépésben is elvégezhető. | ||
. | ||
(Ha az átalakítást jelképező nyílra több átalakítást is írunk, akkor a végrehajtás sorrendje fölülről lefelé értendő.) A jobb oldali mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve | ||
. | ||
8. feladat. Tekintsük az . Hogyan kell az valós szám értékét megválasztani, hogy a kapott mátrix determinánsa legyen? | ||
Megoldás: Mivel az mátrix egyik eleme függ -től, a determinánsa is függ -től. Mivel az első sorban már van egy nulla elem, most célszerű a determinánst az első sora szerint kifejteni. (Ez jobb, mint a harmadik oszlop szerinti kifejtés, mert abban az oszlopban nagyobb számok állnak.) | ||
. | ||
Mivel azt az számot keressük, amire a determináns , megoldjuk a | ||
egyenletet, amiből . Tehát az | ||
mátrix determinánsa . | ||
9. feladat. Tekintsük az . Hogyan kell az valós szám értékét megválasztani, hogy a kapott mátrix determinánsa legyen? | ||
Megoldás: Kifejtjük a determinánst az első sora szerint. | ||
. | ||
A , azaz rendezés után a másodfokú egyenletet , adódik. Tehát az és az mátrixok determinánsa egyaránt . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Legyen és . Ekkor a mátrix
![]() | |||||||||
2. Legyen és . Ekkor a mátrix
![]() | |||||||||
3. Legyen és . Ekkor az mátrix
![]() | |||||||||
4. Legyen . Ekkor az mátrix
![]() | |||||||||
5. Legyen . Ekkor az mátrix
![]() | |||||||||
6. Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | |||||||||
7. Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | |||||||||
8. Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | |||||||||
9. Mennyinek kell választani az szám értékét, hogy az mátrix determinánsa legyen?
![]() | |||||||||
10. Mennyi legyen az szám értéke, hogy az mátrix determinánsa legyen?
![]() |