KURZUS: Matematika 2.
MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai
2. lecke: A derivált és a függvény konvexitása közötti kapcsolat
Tanulási cél: A másodrendű derivált és a konvexitás közötti kapcsolat megismerése, a függvények konvexitás és inflexiós pont szempontjából való jellemzése. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
A Matematika 1. tantárgy A derivált alkalmazásai című leckéjében láttuk, hogy az elsőrendű derivált előjele meghatározza a függvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a függvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a függvény konvexitására vonatkozóan. | ||
Elsőként definiáljuk a konvexitás fogalmát szemléletes módon. |
Definíció: Egy intervallumon értelmezett valós függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad. Egy intervallumon értelmezett valós függvény konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad. | ||
|
Tétel: Legyen az függvény az zárt intervallumon folytonos és az nyílt intervallumon differenciálható. Az függvény az -n akkor és csak akkor konvex, ha az -n szigorúan monoton nő, illetve az függvény az -n akkor és csak akkor konkáv, ha az -n szigorúan monoton csökkenő. | ||
Tétel: Legyen az függvény kétszer differenciálható -n. Az függvény akkor és csak akkor konvex az -n, ha -n, illetve az függvény akkor és csak akkor konkáv az -n, ha -n. |
Definíció: Legyen folytonos -n és . Ha konvex -n és konkáv -n, vagy konkáv -n és konvex -n, akkor inflexiós pontja -nek. |
Tétel: Legyen a hely környezetében kétszer differenciálható. Ha a pontban -nek inflexiós pontja van, akkor . | |||||||||||||||||||
Fontos megjegyezni, hogy a tétel megfordítása nem igaz. Abból, hogy az , még nem következik, hogy inflexiós pont. | |||||||||||||||||||
Tétel: Ha kétszer differenciálható -ben és , továbbá -n és -n , vagy -n és -n , azaz -ben előjelet vált, akkor inflexiós pontja -nek. | |||||||||||||||||||
A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk a függvényeket konvexitás és inflexiós pont szempontjából. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat. | |||||||||||||||||||
Ez a fenti módszer ismerős lehet, mivel hasonló módon végeztük a függvények monotonitására és szélsőértékére vonatkozó vizsgálatot (lásd Matematika 1. A derivált alkalmazásai című leckében). | |||||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||
1. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol konvex az függvény, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konvex, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál (lásd Matematika 1. tárgyban A derivált alkalmazásai című leckében). Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második deriváltja, ott konvex a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény. Természetesen ilyenkor azzal kell kezdenünk, hogy megállapítjuk, hol értelmezhető a második derivált, és ezen a halmazon vizsgáljuk az előjelét. Jelen esetben minden valós számra értelmezhető a második derivált, azaz . | |||||||||||||||||||
Ezután határozzuk meg a második derivált zérushelyeit, azaz oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Egy szorzat akkor egyenlő -val, ha valamelyik tényezője , így ez a szorzat két egyenletre bontható. | |||||||||||||||||||
vagy | |||||||||||||||||||
Ezen egyenletek megoldásai: és . | |||||||||||||||||||
Most hasonló táblázatot célszerű készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk egy függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyenlőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz. | |||||||||||||||||||
Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, ahogyan a korábbiakban vizsgáltunk előjelet, azaz mindegyik részből kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítettük. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére. | |||||||||||||||||||
Ha pl. , akkor nyilván , azaz a derivált első tényezője negatív. Persze ekkor is teljesül, amiből is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Hasonlóan, ha , akkor , és , azaz a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, hogy ezen az intervallumon konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Végül ha , akkor , és , tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Mivel mindkét zérushelyén megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inflexiós pontja van a függvénynek. | |||||||||||||||||||
Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konvex, ha vagy ha . Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a halmazon konvex. | |||||||||||||||||||
2. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol konkáv az függvény, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Az előző feladat megoldásában ismertetettek szerint járunk el. Vizsgáljuk meg, hogy mely halmazon értelmezhető a függvény második deriváltja. Mivel a nevezőben nem állhat , így, melyből és . Ezekből következik, hogy és . | |||||||||||||||||||
A második derivált értelmezési tartománya tehát: . | |||||||||||||||||||
Ezután oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk. | |||||||||||||||||||
Ennek az egyenletnek azonban nincs megoldása, hiszen értéke pozitív minden valós esetén. A második deriváltnak tehát nincs zérushelye, azaz nem lesz inflexiós pontja a függvénynek. | |||||||||||||||||||
Mivel egy függvény előjele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve, így bár nincs a második deriváltnak zérushelye, de az értelmezési tartományt a szakadási helyek mégis részekre bontják. Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A szakadási helyeken egyből jelölhettük, hogy mivel ott nem létezik a második derivált, így a függvényről semmit sem mondhatunk. | |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk meg ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek számlálója minden esetén pozitív, így csak a nevezőt kell vizsgálnunk, ami egy szorzat. Itt megtehetjük, hogy külön vizsgáljuk a tényezők előjelét. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor és , tehát a nevező pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebből következően a függvény konvex. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor és , tehát a nevező negatív, így a második derivált is negatív. Ebből következően a függvény konkáv. | |||||||||||||||||||
Ha pedig , akkor és , tehát a nevező pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebből következően a függvény konvex. | |||||||||||||||||||
Immáron kitölthetjük a teljes táblázatot. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a intervallumon konkáv. | |||||||||||||||||||
3. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol van inflexiós pontja az függvénynek, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Most is a második derivált értelmezési tartományának vizsgálatával kezdjük. Jelen esetben ez az összes valós szám, azaz . | |||||||||||||||||||
Oldjuk meg az egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet inflexiós pontja, ahol a második deriváltja . | |||||||||||||||||||
Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk. | |||||||||||||||||||
vagy | |||||||||||||||||||
Az első egyenlet megoldása nyilván . A második egyenletet rendezzük át. | |||||||||||||||||||
Vegyük mindkét oldal logaritmusát. | |||||||||||||||||||
Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen szerepel. | |||||||||||||||||||
A második egyenlet megoldása így . | |||||||||||||||||||
Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az és az . | |||||||||||||||||||
Ezek után a táblázat első sora kitölthető. | |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk meg ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell foglalkoznunk. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor , ezért . Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor , ezért . Így itt pozitív a második derivált, tehát konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor , ezért . Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az helyen előjelet vált a második derivált, így itt inflexiós pontja van a függvénynek. Viszont az helyen a második derivált nem vált előjelet, így itt nincs inflexiós pont. | |||||||||||||||||||
Töltsük ki a teljes táblázatot. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A függvénynek tehát az helyen van inflexiós pontja. | |||||||||||||||||||
Összetettebb feladatok | |||||||||||||||||||
4. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós ponthoz (pontokhoz) tartozó függvényértéket! | |||||||||||||||||||
Megoldás:Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell megvizsgálnunk. A logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés , azaz . | |||||||||||||||||||
Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt alkalmazzuk). | |||||||||||||||||||
A második derivált előállítása: | |||||||||||||||||||
Oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható: | |||||||||||||||||||
Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy az függvénynek nincs inflexiós pontja. A intervallumon , tehát a függvény ezen az intervallumon konvex. | |||||||||||||||||||
5. feladat: Vizsgáljuk meg konvexitás és inflexiós pont szempontjából az függvényt. | |||||||||||||||||||
Megoldás: Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés . Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra fennáll, azaz a függvényminden valós számra értelmezhető, . | |||||||||||||||||||
Ezt követően meghatározzuk a másodrendű deriváltat, melyhez először az elsőrendű deriváltat kell kiszámolnunk. Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
Erre a deriválási hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
Ezt követően megkeressük a másodrendű derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk a egyenletet. | |||||||||||||||||||
Egy tört értéke akkor , ha a számlálója . Ez alapján | |||||||||||||||||||
és . Ezek lehetnek a függvény inflexiós pontjai. Hogy valóban azok-e, ahhoz ellenőriznünk kell, hogy a másodrendű derivált előjelet vált-e ezekben a pontokban. Ehhez az értelmezési tartományt és a lehetséges inflexiós pontokat tüntetjük fel a táblázat első sorában. Ez alapján a következő táblázatot kell kitöltenünk. | |||||||||||||||||||
A táblázat második sorában a másodrendű derivált előjeleit vizsgáljuk meg az adott tartományokon, s ebből határozzuk meg a konvexitást a következő sorban. Vegyünk egy -nél kisebb számot. Legyen pl. , s helyettesítsük ezt a másodrendű deriváltba. | |||||||||||||||||||
Negatív értéket kaptunk, tehát esetén negatív a másodrendű derivált, ebből következően itt konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Ezt követően vegyünk egy és közé eső számot. Legyen pl. , s ezt is helyettesítsük be a másodrendű deriváltba. | |||||||||||||||||||
Pozitív értéket kaptunk, tehát ha , akkor pozitív a másodrendű derivált, s így itt konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Végül vegyünk egy -nél nagyobb számot is. Legyen pl. , és helyettesítsük ezt a másodrendű deriváltba. | |||||||||||||||||||
Negatív értéket kaptunk, így ha akkor negatív a másodrendű derivált, tehát ekkor konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Mivel a másodrendű derivált értéke az és helyen előjelet vált (-nél negatívból pozitívba, -nél pozitívból negatívba), így ezeken a helyeken inflexiós pontja van a függvénynek. | |||||||||||||||||||
Mindezeket az összefüggéseket tartalmazza az alábbi táblázat, mellyel válaszoltunk a feladatra. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
6. feladat: Vizsgáljuk meg konvexitás szempontjából az függvényt. Adjuk meg az inflexiós pont(ok) koordinátáit is! | |||||||||||||||||||
Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben , azaz . | |||||||||||||||||||
Ezután állítsuk elő a függvény második deriváltját, mert a konvexitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. Az első derivált előállításakor egy összetett függvényt deriválunk. A külső függvény az , a belső függvény pedig az . | |||||||||||||||||||
A második deriválás során a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt használjuk. | |||||||||||||||||||
Amint az korábban már szerepelt, ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. Figyeljünk oda, hogy a hatványokból azt emeljük ki, ahol kisebb a kitevő, s ez most az . Ha pedig az -ból kiemelünk -t, akkor ott fog maradni. | |||||||||||||||||||
A negatív kitevős hatvány helyett törtet is írhatunk. Így a második derivált a következő alakot ölti: | |||||||||||||||||||
Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy egy szorzat akkor zérus, ha valamelyik tényezője zérus. Az első tényező nem lehet egyenlő -val, hiszen az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel. Ennek következtében elég csak a második tényezőben levő törtet vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||
De a tört csak úgy lehet , ha a számlálója , így az egyenlet még tovább egyszerűsödik. | |||||||||||||||||||
Ennek megoldása pedig . | |||||||||||||||||||
Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk meg ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Ehhez a kiemelést követően kapott szorzattá alakított formát célszerű használni. Az , valamint az csak pozitív értékeket vehet fel, így elég csak az előjelét vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor , így a derivált negatív, s ebből következően itt konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Ha , akkor , s ezért itt konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Ha pedig , akkor ismét, így itt is konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Az helyen előjelet vált a második derivált, így ezen a helyen inflexiós pontja van a függvénynek. | |||||||||||||||||||
Töltsük ki a teljes táblázatot. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Ezután már csak az inflexiós pont második koordinátáját kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a függvénybe az értéket, ahol az inflexiós pont van. | |||||||||||||||||||
Az inflexiós pont koordinátái tehát: |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Az függvény értelmezési tartománya . Mely intervallumo(ko)n konkáv az függvény?
![]() | |||||||||
2. Az függvény értelmezési tartománya . Mely intervallumo(ko)n konvex az függvény?
![]() | |||||||||
3. Hány inflexiós pontja van az függvénynek? ![]() | |||||||||
4. A következő intervallumo(ko)n konkáv az függvény
![]() | |||||||||
5. Az függvény inflexiós pontjának (pontjainak) koordinátái:
![]() | |||||||||
6. Hány inflexiós pontja van az függvénynek? ![]() | |||||||||
7. Az függvény inflexiós pontjának függvényértéke ![]() | |||||||||
8. Hány inflexiós pontja van az függvénynek? ![]() | |||||||||
9. Hány inflexiós pontja van az függvénynek? ![]() |