KURZUS: Matematika 2.
MODUL: V. modul: Többváltozós függvények
13. lecke: Kétváltozós függvények integrálszámítása
Tanulási cél: Az egyváltozós függvények esetében nagyon sokat foglalkoztunk a határozatlan és a határozott integrál fogalmával. Ebben a leckében az határozott integrál fogalmát kiterjesztjük kétváltozós függvényekre. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Emlékezzünk arra, hogy egyváltozós függvények esetében a határozott integrál az függvény görbe alatti előjeles területét jelentette egy véges zárt intervallumon, melyet a Newton-Leibniz tétel segítségével számoltunk ki. | ||
Először bevezetjük a véges zárt intervallum kétdimenziós megfelelőjét, a téglalap fogalmát. |
Definíció: Legyen és két intervallum. Ekkor az téglalapon a következő tartományt értjük: | ||
. |
Tehát a továbbiakban a téglalap mindig olyan téglalap lakú tartományt jelent, amelynek oldalai párhuzamosak a koordináta tengelyekkel. |
Definíció: Legyen folytonos függvény az téglalapon. Kétszeres integrálnak az | ||
és az | ||
típusú integrálokat nevezzük. |
A zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A kétszeres integrálok kiszámolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. A dx illetve dy szimbólum mutatja, hogy melyik változó szerint kell először integrálnunk. Ekkor a belső integrál mindig a második változónak a függvénye lesz, és ezt kell a külső integrálban kiszámolnunk. | ||
Tétel: Legyen egy olyan kétváltozós függvény amely az [a,b]×[c,d] téglalapon értelmezett, mindkét változó szerint parciálisan differenciálható, és a parciális deriváltak folytonosak az egész téglalapon. ekkor: | ||
, | ||
azaz az integrálás sorrendje felcserélhető. | ||
Eddig csak téglalap alakú tartományon értelmeztük a kettős integrál fogalmát. Lépjünk egy kicsit tovább. |
Definíció: Legyen intervallum, és tegyük fel, hogy az és a függvényekre teljesül, hogy minden esetén . Ekkor az | ||
halmazt normáltartománynak nevezzük. | ||
Definíció: Normáltartományon a kétszeres integrál a következőt jelent: | ||
. |
Megjegyzés: Ebben az esetben azonban fontos az integrálok sorrendje és az nem cserélhető fel! Az x az a változó, amely szabadon mozog egy intervallumban, az y pedig olyan, hogy annak határai az x függvényei. Így a külső integrálnak kell x szerintinek lennie, a belsőnek pedig az y szerintinek. Ekkor ha a belső függvény integráljánál beírjuk a határokat, továbbra is x függvényét kapjuk, amelyet x szerint kiintegrálva számot kapunk | ||
Egyváltozós függvények esetén a határozott integrál szemléletes jelentése a görbe alatti előjeles terület volt. Ezt a fogalmat most kiterjesztjük a kétváltozós függvények esetére. |
Definíció: Legyen az kétváltozós függvény folytonos egy tetszőleges halmazon és legyen minden esetén. Ekkor az | ||
térbeli halmaz egy test. Ez a test egy olyan H alapú hasáb, amelyet alulról az xy sík, felülről pedig az függvény grafikonja határol. Ennek a testnek a térfogatát a | ||
kettősintegrállal definiáljuk. |
A következőkben megmutatunk egy egyszerű alkalmazást a kettős integrálok témakörben. | ||
Tétel: Legyen H egy egyszerű síkidom. Ekkor H területét a | ||
kettős integrál adja. | ||
Ezt a tételt egyszerű meggondolni, hiszen a kettős integrál geometriai jelentése miatt ez éppen a H alapú, egységnyi magasságú hasáb térfogata, ami így a H halmaz területével egyenlő. A kettős integrál segítségével nem csak a halmaz területe, hanem a súlypontjának koordinátái is meghatározhatók. | ||
Tétel: Jelölje a H halmaz súlypontját . Ekkor | ||
, . | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: | ||
. | ||
Megoldás: Mindig a belső integrál kiszámításával kezdjük. A belül elhelyezkedő dx szimbólum azt jelöli, hogy az x változó szerint integrálunk először. Ilyenkor, akárcsak a parciális deriválásnál, az y-ra úgy kell tekintenünk, mint egy konstansra: | ||
. | ||
Vigyázni kell arra, hogy a Newton-Leibniz szabály alkalmazása során abba a változóba helyettesítsük be az integrálok határait, amelyik változó szerint az integrálás történt. Így lesz a belső integrál a másik változó függvénye, hiszen mint látható, a kifejezésből el is tűnt az x. Ekkor a kettős integrál: | ||
. | ||
2. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: | ||
. | ||
Megoldás: Most is először külön kiszámoljuk a belső integrált, amely x szerinti integrálást jelent, ilyenkor az y-t konstansnak tekintjük, majd az x helyére beírva a megfelelő határokat: | ||
. | ||
Ezt követően: | ||
. | ||
3. feladat: Számítsuk ki az függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: . | ||
Megoldás: Mivel téglalap alakú a tartomány, ezért az integrál kétféleképpen is felírható: | ||
. | ||
Mivel az eredmény mindkét sorrend mellett azonos lesz, ezért szabadon választhatunk, hogy milyen sorrendben kívánunk integrálni. | ||
. | ||
4. feladat: Legyen . Rajzoljuk fel a tartományt és számítsuk ki az függvény kettősintegrálját az N tartományon! | ||
Megoldás: A normáltartományt mutatja az ábra: | ||
| ||
A definíció szerint a következő integrált kell kiszámolni: | ||
. | ||
Először külön kiszámoljuk a belső integrált: | ||
. | ||
Most a külső integrállal folytatva: | ||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: .
![]() | |||||||||
2. Számítsuk ki az függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: .
![]() | |||||||||
3. Legyen . Számítsuk ki az függvény kettősintegrálját az N tartományon! ![]() |
Összetett feladatok | ||
5. feladat: Számítsuk ki az alábbi kettős integrált: | ||
. | ||
Megoldás: Ebben a feladatban az y szerinti integrálás határai függnek az x-től. Ez azt jelenti, hogy először y szerint integrálunk és a kapott eredménybe y helyére helyettesítünk. | ||
Most is a belső integrállal kezdünk: | ||
. | ||
A küldő integrállal folytatva: | ||
. | ||
6. feladat: Számítsuk ki az függvény kettős integrálját az | ||
görbék által határolt normáltartományon. Rajzoljuk fel a tartományt is! | ||
Megoldás: Célszerű először lerajzolni a keresett tartományt, majd a szokásos alakban is megadni. | ||
| ||
A keresett normáltartomány: | ||
. | ||
Ekkor keresett kettős integrál: | ||
. | ||
7. feladat: Számítsuk ki az függvény integrálját az és az görbék által határolt tartományon. | ||
Megoldás: Készítsünk ábrát a keresett tartományról. | ||
| ||
Ahhoz, hogy fel tudjuk írni a normáltartományt, először ki kell számolni a két függvény metszéspontját. Ehhez meg kell oldani a következő egyenletet: | ||
. | ||
Felírva a feladathoz tartozó normáltartományt: | ||
. | ||
Ekkor a keresett integrál: | ||
. | ||
A belső integrállal kezdünk: | ||
. | ||
A kapott eredményt behelyettesítve a külső integrálba: | ||
. | ||
8. feladat: Számítsa ki az függvény kettős integrálját az , és pontok által határolt háromszög felett. | ||
Megoldás: Rajzoljuk fel az adott csúcspontokkal rendelkező háromszöget. | ||
| ||
Ez a tartomány felfogható egy olyan normáltartománynak, amelyet balról az , jobbról az , alulról az x tengely (), felülről pedig az () egyenesek határolnak. Azaz: | ||
. | ||
Ekkor a kettős integrál: | ||
. | ||
Itt | ||
, | ||
ebből pedig | ||
. | ||
9. feladat: Számítsuk ki az és a görbék által határolt véges területű H síkidom súlypontjának koordinátáit! | ||
Megoldás: Célszerű először ábrát készíteni. | ||
| ||
Számítsuk ki s két függvény metszéspontját. | ||
. | ||
Ekkor fel tudjuk írni a H síkidomot, mint egy normáltartományt: | ||
. | ||
Ekkor a kettős integrálok a következő módon írhatók fel: | ||
. | ||
Innen a súlypont: | ||
, . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
4. Számítsa ki az függvény kettős integrálját az y tengely, az és az egyenesek által határolt háromszög felett. ![]() | |||||||||
5. Az függvény kettős integrálja az és az görbék által határolt tartomány felett: ![]() | |||||||||
6. Számítsa ki az függvény kettős integrálját az , és pontok által határolt háromszög felett. ![]() |