KURZUS: Matematika 2.

MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai

1. lecke: A L'Hospital-szabály

Tanulási cél: Egy újabb, hatékony határértékszámítási módszer, a L'Hospital-szabály megismerése, és alkalmazásának elsajátítása a különböző típusú határozatlan határértékek esetében.

Elméleti összefoglaló

Korábban a Matematika 1. tárgyban foglalkoztunk már határértékszámítási feladatokkal. Gyakran találkozhatunk olyan határértékszámítási problémákkal, melyek nem oldhatóak meg a korábban tanult módszerekkel, így például a 0 0  vagy  típusú határértékek, valamint az ezekre visszavezethetőek. Ezen típusok meghatározására ad hatékonyt módszert a L'Hospital-szabály.

Tegyük fel, hogy a

lim xc f( x ) g( x )  határérték  vagy 0 0  típusú,

és c  egy környezetében, esetleg c-től eltekintve, f  is és g  is differenciálható, továbbá g( x )0   és g'( x )0 .

Ha a lim xc f ( x ) g'( x )  határérték létezik és véges, akkor az is teljesül, hogy

lim xc f( x ) g( x ) = lim xc f ( x ) g'( x ) .

A c  jelölhet egy véges értéket, valamint mindkét végtelent is.

A tétel rövid és pontatlan megfogalmazása: a tört limesze a deriváltak hányadosának a limeszével egyenlő.

Fontos, hogy csak határozatlan alakú határértékek kiszámolására próbáljuk a tételt alkalmazni, különben hibás eredményt ad.

Előfordulhat olyan eset, amikor a szabály egyszeri alkalmazása nem elegendő, mert a deiváltak hányadosa újra határozatlan alakot ad. Ekkor (ha a feltételek teljesülnek) újra alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt. Ilyenkor az újabb deriválás előtt célszerű a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezni.

A feladatmegoldások során először mindig megvizsgáljuk, hogy milyen típusú határértékről van szó. A 0 0  vagy  típusú határozatlan esetekben közvetlenül alkalmazható a L'Hospital-szabály. Ezeken túlmenően további öt esetet sorolunk fel, melyekre bizonyos átalakítások után a szabály alkalmazható.

1." 0 " típus:
Ha az f( x )g( x )  szorzat, (a szóbanforgó helyen) " 0  " típusú, akkor az

f( x )g( x )= f( x ) 1 g( x ) ,

vagy az

f( x )g( x )= g( x ) 1 f( x )

formulák valamelyikét felhasználva, a kérdéses határérték átalakítható , vagy 0 0  típusúvá, aztán alkalmazható a L'Hospital-szabály.
Gyakran a kétféle átírási lehetőség közül csak az egyik használható. Azzal érdemes először próbálkozni, amelyik a deriválás szempontjából egyszerűbbnek tűnik.
2.A " " típus:
Ha eleve törtek különbségéről van szó, közös nevezőre hozással tört alakba írhatók, és alkalmazható a L'Hospital-szabály. Ha nem törtek különbségéről van szó, akkor általában kiemeléssel lehet visszavezetni a feladatot olyan alakra, ahol a L'Hospital-szabály alkalmazhatóvá válik. (A  típust úgy kell érteni, hogy azonos előjelű végtelenek különbsége a limesz.)
3-5.A " 0 0 ", " 0 ", " 1 " típus:
Logaritmálással visszavezethetők " 0 " típusú határértékre.

Az alábbiakban mindegyik esetre mutatunk példákat.

Érdemes megjegyezni, hogy ez a témakör nagyban épít a Matematika 1. tárgyban tanult határértékszámítás és differenciálszámítás támakörök biztos ismeretére (lásd 8. Határérték, 9. Differenciálszámítás bevezetése és a 10. Deriválási szabályok című leckékben).

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Számítsuk ki a lim x x ln x  határértéket.

Megoldás: Most egy  típusú határértékkel van dolgunk, így a L'Hospital-szabályt közvetlenül tudjuk alkalmazni. Ennek érdekében külön deriváljuk a számlálót és külön deriváljuk a nevezőt, s ennek a hányadosnak vesszük az eredeti helyen vett határértékét. Ez most

lim x ( x ) ' ( ln x ) ' = lim x 1 2 x 1 x .

Ebben a formájában ez egy 0 0  típusú határérték, látszólag nem jutottunk előre. De az utóbbi határérték átalakítható (megszüntetjük az emeletes törtet), és ezután könnyen kiszámolható a határérték:

lim x 1 2 x 1 x = lim x x 2 x = lim x x 2 = .

A deriváltak hányadosának plusz végtelen a limesze, így tételünk értelmében ennyi az eredeti limesz is, azaz

lim x x ln x = .

2. feladat: Számítsuk ki a lim x e 2x x 2  határértéket.

Megoldás: Egy  típusú határértéket kell kiszámolni. Tekintjük a deriváltak hányadosának a határértékét.

lim x ( e 2x ) ' ( x 2 ) ' = lim x 2 e 2x 2x = lim x e 2x x .

Ez is egy  típusú határérték. Kiszámolásához a L'Hospital-szabályt újra alkalmazzuk.

A deriváltak hányadosának határértéke most

lim x ( e 2x ) ' ( x ) ' = lim x 2 e 2x 1 = lim x ( 2 e 2x )= .

A tételünk értelmében ekkor

lim x      e 2x x =

is teljesül, majd még egyszer alkalmazva a tételt

lim x      e 2x x 2 =

is fennáll. Tehát ebben az esetben kétszer alkalmaztuk egymás után a L'Hospital-szabályt.

3. feladat: Számítsuk ki a lim x x 3 x 2 + e x  határértéket.

Megoldás: A limesz  típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x ( x 3 ) ' ( x 2 + e x ) ' = lim x 3 x 2 2x+ e x .

Ez még mindig  típusú. Nézzük tehát a

lim x ( 3 x 2 ) ' ( 2x+ e x ) ' = lim x 6x 2+ e x

határértéket, de ez még mindig  típusú. Végül, még egyszer képezve a deriváltak hányadosának határértékét, kapjuk, hogy

lim x ( 6x ) ' ( 2+ e x ) ' = lim x 6 e x =0 ,

ezért sorban minden limesz nullával egyenlő, így az eredeti is, azaz

lim x x 3 x 2 + e x =0 .

Tehát ebben az esetben háromszor alkalmaztuk egymás után a L'Hospital-szabályt.

4. feladat: Számoljuk ki a lim x0 e x 1 sin x  határértéket.

Megoldás: A 0-t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték 0 0  típusú. Tehát tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét, ami

lim x0 ( e x 1 ) ' ( sin x ) ' = lim x0 e x cos x =1 .

Ennyi tehát az eredeti limesz is:

lim x0 e x 1 sin x =1 .

5. feladat: Számítsuk ki a lim x0 x e x 1 e 2x  határértéket.

Megoldás: A 0-t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték 0 0  típusú. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x0 ( x e x ) ' ( 1 e 2x ) ' = lim x0 e x +x e x 2 e 2x = 1+0 2 = 1 2 .

Tehát az eredeti határértékre is fennáll, hogy

lim x0 x e x 1 e 2x = 1 2 .

6. feladat: Számoljuk ki a lim x0 sin 2 x 1cos 3x  határértéket.

Megoldás: A 0-t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték 0 0  típusú. Most a deriváltak hányadosának limesze:

lim x0 2sin  x . cos x 3sin 3x ,

ami a 0-t való behelyettesítést követően újra 0 0  típusú. Ebből kapjuk a deriváltak hányadosát képezve a

lim x0 2 cos 2 x2 sin 2 x 9cos3x = 20 9 = 2 9

eredményt, s így ennyi az eredeti limesz is,

lim x0 sin 2 x 1+cox    3x = 2 9 .

Akár eszünkbe juthatott volna az első deriválás után egy trigonometrikus azonosság is, mely alapján

lim x0   2sin xcosx 3sin 3x = lim x0   sin 2x 3sin 3x .

Ez persze így is egy 0 0  típusú limesz, de ha most vesszük a deriváltak hányadosának limeszét, azt kapjuk, hogy

lim x0 2cos 2x 9cos 3x = 2 9 ,

és ismét hivatkozhatunk arra, hogy a tételünk alapján az eredeti határérték is ennyi. Ezen az úton a deriválás némileg egyszerűbb volt.

Az ilyenféle átalakítások gyakran jelentős egyszerűsödést tudnak eredményezni.

7. feladat: Számoljuk ki a lim x0 xtg x sin xx  határértéket.

Megoldás: A 0-t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték 0 0  típusú. A deriváltak hányadosának limesze így:

lim x0 1 1 cos 2 x cos x1 = 1 1 cos 2 0 cos01 .

Ez továbbra is 0 0  típusú, de átalakítható a következő módon:

lim x0 1 1 cos 2 x cosx1 = lim x0 cos 2 x1 cos 2 x cosx1 = lim x0 cos 2 x1 cos 2 x( cosx1 ) =

= lim x0 ( cosx+1 )( cosx1 ) cos 2 x( cosx1 ) = lim x0 cosx+1 cos 2 x = 1+1 1 =2 .

A tétel alapján az eredeti limesz is ennyi:

lim x0 xtgx sinxx =2 .

Ha a fenti átalakítási lehetőséget nem vesszük észre, akkor ismét a L'Hospital-szabály alkalmazásával próbálkozhatnánk, ekkor azt kapnánk, hogy:

lim x0 ( 1 1 cos 2 x ) " ( cos x1 ) " = lim x0 2sinx cos 3 x sin x = lim x0 2 cos 3 x =2 .

Most tehát így is célhoz értünk. Néha azonban az egyszerűsítések elvégzése nélkül nem számítható ki a limesz.

8. feladat: lim x ln( 1+ e x ) sin( 3 x ) =?

Megoldás: lim x ln( 1+ e x ) sin( 3 x ) = ln( 1+0 ) sin(0) = 0 0

Tehát újra egy 0 0  típusú limesszel van dolgunk. Most a deriváltak hányadosának limesze:

lim x 1 1+ e x ( e x 2 ) cos( 3 x )( 3 x 2 ) .

Ez továbbra is 0 0  típusú. Vegyük észre azonban, hogy a problémát okozó 1 x 2  tényezővel egyszerűsíthetünk. Ekkor kapjuk, hogy

lim x 1 1+ e x ( e x 2 ) cos( 3 x )( 3 x 2 ) = lim x 1 1+ e x ( e ) cos( 3 x )( 3 ) = e 3 .

Persze az eredeti limesz is ezzel egyenlő:

lim x ln( 1+ e x ) sin( 3 x ) = e 3 .

Ha most a deriváltak hányadosában nem egyszerűsítenénk a 1 x 2  tényezővel, hanem ismét tekintenénk a deriváltak hányadosának limeszét, akkor az továbbra is 0 0  típusú maradna, és ez történne akárhányszor vennénk, az egyébként egyre bonyolultabb deriváltak hányadosának limeszét. Ezért, ha lehet, akkor mindig egyszerűsítsünk!

9. feladat: Számítsuk ki a lim x ( x e 2x )  határértéket.

Megoldás: Ez a határérték egy 0  típusú szorzat. A negatív kitevőjű hatvány miatt kínálkozik a

lim x ( x e 2x )= lim x x e 2x

tört alakú átírás.

Így egy  típusú tört határértékének a kiszámítására vezettük vissza a feladatot, melyre már alkalmazható a L'Hospital szabály. Véve a deriváltak hányadosának határértékét, arra jutunk, hogy

lim x 1 2 e 2x =0 .

Tehát az eredeti limesz is ennyi:

lim x ( x e 2x )=0 .

10. feladat: Számítsuk ki a lim x 0 + ( tgx lnx )  határértéket.

Megoldás: A feladat egyoldali határértékszámítással kapcsolatos ismeretekre épül (lásd Matematika 1. tárgy 8.Határérték című lecke).

Az egyoldali határértékeket megvizsgálva kapjuk, hogy a szorzatunk limesze 0  típusú. Mivel 1 tgx =ctgx  elemi alapfüggvény, a

lim x 0 + ( tgx lnx )= lim x 0 + lnx 1 tgx = lim x 0 + lnx ctgx

átírást választjuk.

Így egy  típusú határérték kiszámítása a feladatunk, melyre alkalmazható a L'Hospital szabály. Tekintsük a deriváltak hányadosának határértékét:

lim x 0 + 1 x 1 sin 2 x = lim x 0 + ( sin 2 x x ) .

Ez egy 0 0  típusú határérték. Alkalmazhatjuk ismét a L'Hospital-szabályt, és egy lépésben célhoz jutunk, de talán még egyszerűbb, ha felhasználjuk a nevezetes lim x 0 + sin x x =1      határértéket. Ekkor

lim x 0 + ( sin 2 x x )= lim x 0 + sin x x lim x 0 + ( sin x )=10=0 .

Ezzel egyenlő az eredeti limesz is:

lim x 0 + ( tgx lnx )=0 .

11. feladat: Számítsuk ki a lim x 0 + x sin x  határértéket.

Megoldás: Egy 0 0  típusú határértéket kell kiszámolni. Vezessük be a

lim x 0 + x sinx =A

jelölést.

Vegyük ezután mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. Ezt megtehetjük, mert ha létezik a limesz, akkor A>0 . (Az x sinx     hatvány definíciójánál fogva pozitív.) Ekkor, felhasználva még a logaritmus függvény folytonosságát is, írhatjuk, hogy

ln( lim x 0 + x sinx )=ln( A ) ,

lim x 0 + ln( x sinx )=ln( A ) ,

majd felhasználva a logaritmus egy azonosságát

lim x 0 + ( sinxlnx )=ln( A ) .

A bal oldalon álló határérték 0( )  típusú. Átírjuk őt tört alakba:

lim x 0 + ( sinxlnx )= lim x 0 + lnx 1 sinx .

Így  típusú határértékre jutunk. Vegyük a deriváltak hányadosának a határértékét, felhasználva, hogy

( 1 sin x ) " = ( ( sin x ) 1 ) " =1 ( sin x ) 2 cos x= cos x sin 2 x ,

és abban alakítsuk át az emeletes törtet. Ekkor kapjuk, hogy

lim x 0 + 1 x cos x sin 2 x = lim x 0 + ( sin 2 x xcos x ) .

Ez utóbbi egy 0 0  típusú határérték, amit egyszerű átalakításokkal kiszámolhatunk.

lim x 0 + ( sin 2 x xcox x )= lim x 0 + ( sin x x sin x cos x )= lim x 0 + ( sin x x ) lim x 0 + tg x=110=0 .

Azt kaptuk tehát, hogy

ln( A )=0 ,

amiből

A=1 .

Ennyi tehát az eredeti limesz is:

lim x 0 + x sin x =1 .

12. feladat: lim x [ cos( 2 x ) ] x 2 =?

Megoldás: A határérték 1  típusú. Az előző feladatban látott eljárást alkalmazva

lim x [ cos( 2 x ) ] x 2 =A ,

ln( lim x [ cos( 2 x ) ] x 2 )=ln( A ) ,

lim x ln( [ cos( 2 x ) ] x 2 )=ln( A ) ,

lim x ( x 2 ln( cos( 2 x ) ) )=ln( A ) .

A bal oldalon álló limesz 0  típusú ( x 2  és ln( cos( 2 x ) )0 ). Törtté átírva az alábbi limeszhez jutunk:

lim x ( x 2 ln( cos( 2 x ) ) )= lim x ln( cos( 2 x ) ) 1 x 2 .

Ezzel 0 0  típusúvá alakítottuk a kiszámolandó limeszt. Vesszük a deriváltak hányadosának határértékét, és egyszerűsítünk:

lim x 1 cos( 2 x ) ( sin( 2 x ) )( 2 x 2 ) 2 1 x 3 = lim x xsin( 2 x ) cos( 2 x ) =

= lim x 1 cos( 2 x ) lim x ( x sin( 2 x ) )= lim x ( x sin( 2 x ) ) ,

lévén, hogy az első tényező limesze 1. Az így kapott limesz 0  típusú, amit

lim x ( x . sin( 2 x ) )= lim x sin( 2 x ) 1 x

alakban törtté alakítunk. Így 0 0  típusú limeszt kapunk, alkalmazhatjuk tehát a L'Hospital-szabályt. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x cos( 2 x )( 2 x 2 ) 1 x 2 = lim x ( 2cos( 2 x ) )=2 .

Tehát

ln( A )=2 , (ne feledkezzünk meg a limesz előtt álló 1 -ről),

amiből

A= e 2 = 1 e 2 .

Végül is tehát

lim x [ cos( 2 x ) ] x 2 = 1 e 2 .

13. feladat: Számítsuk ki a lim x ( e x x 2 )  határértéket.

Megoldás: Könnyen látható, hogy egy  típusú határértékkel van dolgunk. A következőképp járhatunk el.

Kiemelünk mindkét tagból e x -t. (A gyorsabban növőt célszerű kiemelni, melyhez a függvény ábrája lehet segítség.) Ekkor a

lim x e x ( 1 x 2 e x )

határétékhez jutunk. Itt az első tényező plusz végtelenbe tart, továbbá kétszer alkalmazva a L'Hospital-szabályt

lim x x 2 e x = lim x 2x e x = lim x 2 e x =0 ,

ezért a zárójeles kifejezés limesze 1. A szorzat is tart tehát a plusz végtelenbe.

lim x ( e x x 2 )= .

14. feladat: lim x0 ( 1 x 1 e x 1 )=?

Megoldás: Akár jobbról, akár balról tart az x  nullához, az x  és az e x 1  azonos előjelűen tart nullához, tehát a reciprokuk különbségének határértéke azonos előjelű végtelenek különbsége.

A törtek különbsége miatt közös nevezőre hozunk:

lim x0 ( 1 x 1 e x 1 )= lim x0 e x 1x x( e x 1 ) .

Ez 0 0  típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának határértékét:

lim x0 e x 1 e x 1+x e x ,

ami továbbra is 0 0  típusú. Még egyszer véve a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x0 e x e x + e x +x e x = 1 1+1+0 = 1 2 .

Ezért

lim x0 ( 1 x 1 e x 1 )= 1 2 .

Ellenőrző kérdések
1. lim x ln x x 2 =
1.
.
0.
1 2 .
2. lim x x 3 e 2x =
0.
6.
.
3 2 .
3. lim x e x 1 x 2 =
.
0.
1 2 .
1.
4. lim x0 1cos x x 2 =
0.
1 2 .
1 .
1 2 .
5. lim x0 1 e 2x x 2 +3x =
0.
2 3 .
2 3 .
1.5 .
6. lim x1 ln( 5x4 ) ln( 32x ) =
5 2 .
5 2 .
1.
1 .
7. lim x ( x 2 e x )=
.
1.
0.
2.
8. lim x ( x sin( π x ) )=
0.
π .
.
π.
9. lim x 0 + x x =
1.
0.
e.
1 e .
10. lim x 0 + ( 1+sin x ) 1 x =
e.
1.
0.
1 e .
11. lim x ( xln x )=
.
.
0.
1.
12. lim x 0 + ( 1 e x 1 x )=
.
.
0.
1 e .