KURZUS: Matematika 2.

MODUL: V. modul: Többváltozós függvények

13. lecke: Kétváltozós függvények integrálszámítása

Tanulási cél: Az egyváltozós függvények esetében nagyon sokat foglalkoztunk a határozatlan és a határozott integrál fogalmával. Ebben a leckében az határozott integrál fogalmát kiterjesztjük kétváltozós függvényekre.

Elméleti összefoglaló

Emlékezzünk arra, hogy egyváltozós függvények esetében a határozott integrál az f(x)  függvény görbe alatti előjeles területét jelentette egy véges zárt [ a,b ]  intervallumon, melyet a Newton-Leibniz tétel segítségével számoltunk ki.

Először bevezetjük a véges zárt intervallum kétdimenziós megfelelőjét, a téglalap fogalmát.

Definíció: Legyen [ a,b ]  és [ c,d ]  két intervallum. Ekkor az [ a,b ]×[ c,d ]  téglalapon a következő tartományt értjük:

[ a,b ]×[ c,d ]={ (x,y) R 2 | axb,cyd } .

Tehát a továbbiakban a téglalap mindig olyan téglalap lakú tartományt jelent, amelynek oldalai párhuzamosak a koordináta tengelyekkel.

Definíció: Legyen f(x,y)  folytonos függvény az [ a,b ]×[ c,d ]  téglalapon. Kétszeres integrálnak az

c d ( a b f(x,y)dx ) dy  és az a b ( c d f(x,y)dy ) dx

típusú integrálokat nevezzük.

A zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A kétszeres integrálok kiszámolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. A dx illetve dy szimbólum mutatja, hogy melyik változó szerint kell először integrálnunk. Ekkor a belső integrál mindig a második változónak a függvénye lesz, és ezt kell a külső integrálban kiszámolnunk.

Tétel: Legyen f(x,y)  egy olyan kétváltozós függvény amely az [a,b]×[c,d] téglalapon értelmezett, mindkét változó szerint parciálisan differenciálható, és a parciális deriváltak folytonosak az egész téglalapon. ekkor:

c d ( a b f(x,y)dx ) dy= a b ( c d f(x,y)dy ) dx,

azaz az integrálás sorrendje felcserélhető.

Eddig csak téglalap alakú tartományon értelmeztük a kettős integrál fogalmát. Lépjünk egy kicsit tovább.

Definíció: Legyen [ a,b ]  intervallum, és tegyük fel, hogy az f(x)  és a g(x)  függvényekre teljesül, hogy minden x[ a,b ]  esetén f(x)g(x) . Ekkor az

N={ (x,y) R 2 | axb,f(x)yg(x) }

halmazt normáltartománynak nevezzük.

Definíció: Normáltartományon a kétszeres integrál a következőt jelent:

a b ( f(x) g(x) f(x,y)dy ) dx.

Megjegyzés: Ebben az esetben azonban fontos az integrálok sorrendje és az nem cserélhető fel! Az x az a változó, amely szabadon mozog egy [ a,b ]  intervallumban, az y pedig olyan, hogy annak határai az x függvényei. Így a külső integrálnak kell x szerintinek lennie, a belsőnek pedig az y szerintinek. Ekkor ha a belső függvény integráljánál beírjuk a határokat, továbbra is x függvényét kapjuk, amelyet x szerint kiintegrálva számot kapunk

Egyváltozós függvények esetén a határozott integrál szemléletes jelentése a görbe alatti előjeles terület volt. Ezt a fogalmat most kiterjesztjük a kétváltozós függvények esetére.

Definíció: Legyen az f(x,y)  kétváltozós függvény folytonos egy tetszőleges H R 2  halmazon és legyen f(x,y)0  minden (x,y)H  esetén. Ekkor az

{ (x,y,z) R 3 | (x,y)H,0zf(x,y) }

térbeli halmaz egy test. Ez a test egy olyan H alapú hasáb, amelyet alulról az xy sík, felülről pedig az f(x,y)  függvény grafikonja határol. Ennek a testnek a térfogatát a

V= H f(x,y)dA

kettősintegrállal definiáljuk.

A következőkben megmutatunk egy egyszerű alkalmazást a kettős integrálok témakörben.

Tétel: Legyen H egy egyszerű síkidom. Ekkor H területét a

H 1dA

kettős integrál adja.

Ezt a tételt egyszerű meggondolni, hiszen a kettős integrál geometriai jelentése miatt ez éppen a H alapú, egységnyi magasságú hasáb térfogata, ami így a H halmaz területével egyenlő. A kettős integrál segítségével nem csak a halmaz területe, hanem a súlypontjának koordinátái is meghatározhatók.

Tétel: Jelölje a H halmaz súlypontját ( S x , S y ) . Ekkor

S x = H xdA H 1dA S y = H ydA H 1dA .

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált:

1 2 ( 0 1 (2x3 y 2 )dx ) dy.

Megoldás: Mindig a belső integrál kiszámításával kezdjük. A belül elhelyezkedő dx szimbólum azt jelöli, hogy az x változó szerint integrálunk először. Ilyenkor, akárcsak a parciális deriválásnál, az y-ra úgy kell tekintenünk, mint egy konstansra:

0 1 (2x3 y 2 )dx = [ x 2 3 y 2 x ] 0 1 =(13 y 2 )(00)=13 y 2 .

Vigyázni kell arra, hogy a Newton-Leibniz szabály alkalmazása során abba a változóba helyettesítsük be az integrálok határait, amelyik változó szerint az integrálás történt. Így lesz a belső integrál a másik változó függvénye, hiszen mint látható, a kifejezésből el is tűnt az x. Ekkor a kettős integrál:

1 2 ( 0 1 (2x3 y 2 )dx ) dy= 1 2 (13 y 2 )dy= [ y y 3 ] 1 2 =(2 2 3 )(1 (1) 3 )=6 .

2. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált:

1 1 ( 0 1 (2x y 2 +3 x 3 y)dx ) dy.

Megoldás: Most is először külön kiszámoljuk a belső integrált, amely x szerinti integrálást jelent, ilyenkor az y-t konstansnak tekintjük, majd az x helyére beírva a megfelelő határokat:

0 1 (2x y 2 +3 x 3 y)dx = [ x 2 y 2 + 3 4 x 4 y ] 0 1 =( y 2 + 3 4 y )0= y 2 + 3 4 y .

Ezt követően:

1 1 ( y 2 + 3 4 y ) dy= [ y 3 3 + 3 8 y 2 ] 1 1 =( 1 3 + 3 8 )( 1 3 + 3 8 )= 2 3 .

3. feladat: Számítsuk ki az f(x,y)= x 2 y  függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: 0x1,1ye .

Megoldás: Mivel téglalap alakú a tartomány, ezért az integrál kétféleképpen is felírható:

1 e ( 0 1 x 2 y dx ) dy= 0 1 ( 1 e x 2 y dy ) dx.

Mivel az eredmény mindkét sorrend mellett azonos lesz, ezért szabadon választhatunk, hogy milyen sorrendben kívánunk integrálni.

1 e ( 0 1 x 2 y dx ) dy= 1 e [ x 3 3y ] 0 1dy= 1 e ( 1 3y )dy= 1 3 [ ln| y | ] 1e= 1 3.

4. feladat: Legyen N={ (x,y) R 2 | 0x1,xy x } . Rajzoljuk fel a tartományt és számítsuk ki az f(x,y)=4x y 2  függvény kettősintegrálját az N tartományon!

Megoldás: A normáltartományt mutatja az ábra:

A definíció szerint a következő integrált kell kiszámolni:

0 1 ( x x (4x y 3 )dy ) dx.

Először külön kiszámoljuk a belső integrált:

x x (4x y 3 )dy = [ x y 4 ] x x =( x 3 )( x 5 ) .

Most a külső integrállal folytatva:

0 1 ( x x (4x y 3 )dy ) dx= 0 1 ( x 3 x 5 )dx= [ x 4 4 x 6 6 ] 0 1 =( 1 4 1 6 )( 0 )= 1 12 .

Ellenőrző kérdések
1. Számolja ki az alábbi kétszeres integrált:
0 2 ( 1 3 ( x 3 y 3 xy)dx ) dy.
70
72
74
76
2. Számítsuk ki az f(x,y)= 2x y 2  függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: 0x1,1y2 .
1 3
1 2
0
1 2
3. Legyen N={ (x,y) R 2 | 0x1,xy x } . Számítsuk ki az f(x,y)=2xy  függvény kettősintegrálját az N tartományon!
1 6
1 8
1 10
1 12
Összetett feladatok

5. feladat: Számítsuk ki az alábbi kettős integrált:

0 1 x1 x+1 ( (x2y)dy ) dx.

Megoldás: Ebben a feladatban az y szerinti integrálás határai függnek az x-től. Ez azt jelenti, hogy először y szerint integrálunk és a kapott eredménybe y helyére helyettesítünk.

Most is a belső integrállal kezdünk:

x1 x+1 (x2y)dy= [ xy y 2 ] x+1 x+1 =( x(x+1) (x+1) 2 )( x(x1) (x1) 2 )=

= x 2 +x( x 2 2x+1)( x 2 x x 2 +2x1)=2 x 2 +2x .

A küldő integrállal folytatva:

0 1 (2 x 2 +2x)dx= [ 2 x 3 3 + x 2 ] 0 1 =( 2 3 +1 )0= 1 3 .

6. feladat: Számítsuk ki az f(x,y)=xy  függvény kettős integrálját az

x=0,x=1,y= x 5 ,y=2 x

görbék által határolt normáltartományon. Rajzoljuk fel a tartományt is!

Megoldás: Célszerű először lerajzolni a keresett tartományt, majd a szokásos alakban is megadni.

A keresett normáltartomány:

N={ (x,y) R 2 | 0x1, x 5 y2 x } .

Ekkor keresett kettős integrál:

0 1 ( x 5 2 x ( xydy ) ) dx= 0 1 [ x y 2 2 ] x 5 2 x dx= 0 1 ( 2 x 2 x 3 50 ) dx= [ 2 x 3 3 x 4 200 ] 0 1= 397 600 .

7. feladat: Számítsuk ki az f(x,y)=x+2y  függvény integrálját az y= x 2  és az y= x  görbék által határolt tartományon.

Megoldás: Készítsünk ábrát a keresett tartományról.

Ahhoz, hogy fel tudjuk írni a normáltartományt, először ki kell számolni a két függvény metszéspontját. Ehhez meg kell oldani a következő egyenletet:

x 2 = x x 4 =xx( x 3 1)=0 x 1 =0, x 0 =1 .

Felírva a feladathoz tartozó normáltartományt:

N={ (x,y) R 2 | 0x1, x 2 y x } .

Ekkor a keresett integrál:

0 1 ( x 2 x (x+2y)dy ) dx.

A belső integrállal kezdünk:

x 2 x (x+2y)dy = [ xy+ y 2 ] x 2 x =(x x +x)( x 3 + x 4 )= x 3 2 +x x 3 x 4 .

A kapott eredményt behelyettesítve a külső integrálba:

0 1 ( x 3 2 +x x 3 x 4 ) dx= [ x 5 2 5 2 + x 2 2 x 4 4 x 5 5 ] 0 1 = 2 5 + 1 2 1 4 1 5 = 9 20 .

8. feladat: Számítsa ki az f(x,y)= 5 x 2 +1  függvény kettős integrálját az A(0,0) , B(1,0)  és C(1,2)  pontok által határolt háromszög felett.

Megoldás: Rajzoljuk fel az adott csúcspontokkal rendelkező háromszöget.

Ez a tartomány felfogható egy olyan normáltartománynak, amelyet balról az x=0 , jobbról az x=1 , alulról az x tengely ( f(x)=0 ), felülről pedig az y=2x  ( g(x)=2x ) egyenesek határolnak. Azaz:

N={ (x,y) R 2 | 0x1,0y2x } .

Ekkor a kettős integrál:

0 1 ( 0 2x 5 x 2 +1 dy ) dx.

Itt

0 2x 5 x 2 +1 dy = 5 x 2 +1 [ y ] 0 2x = 10x x 2 +1 ,

ebből pedig

0 1 10x x 2 +1 dx=5 0 1 2x x 2 +1 dx=5 [ ln| x 2 +1 | ] 0 1 =5ln25ln1=5ln2.

9. feladat: Számítsuk ki az f(x)= x 2 1  és a g(x)=x+1  görbék által határolt véges területű H síkidom súlypontjának koordinátáit!

Megoldás: Célszerű először ábrát készíteni.

Számítsuk ki s két függvény metszéspontját.

f(x)=g(x) x 2 1=x+1 x 2 x2=0 x 1 =1, x 2 =2 .

Ekkor fel tudjuk írni a H síkidomot, mint egy normáltartományt:

H={ (x,y) R 2 | 1x2, x 2 1yx+1 } .

Ekkor a kettős integrálok a következő módon írhatók fel:

H 1dA= 1 2 x 2 1 x+1 (1dy)dx = 1 2 [ y ] x 2 1 x+1 = 1 2 (2+x x 2 )dx= [ 2x+ x 2 2 x 3 3 ] 1 2 = 9 2

H xdA= 1 2 x 2 1 x+1 (xdy)dx = 1 2 [ xy ] x 2 1 x+1 = 1 2 (2x+ x 2 x 3 )dx= [ x 2 + x 3 3 x 4 4 ] 1 2 = 9 4

H ydA= 1 2 x 2 1 x+1 (ydy)dx = 1 2 [ y 2 2 ] x 2 1 x+1 = 1 2 ( x+ 3 x 2 2 x 4 2 )dx= [ x 2 2 + x 3 2 x 5 10 ] 1 2 = 27 10 .

Innen a súlypont:

S x = 9 4 9 2 = 1 2 S y = 27 10 9 2 = 3 5 .

Ellenőrző kérdések
4. Számítsa ki az f(x,y)=xy  függvény kettős integrálját az y tengely, az y=2x  és az y=x  egyenesek által határolt háromszög felett.
1 3
1 2
2 3
3 2
5. Az f(x,y)=x2y  függvény kettős integrálja az y=0  és az y=x x 2  görbék által határolt tartomány felett:
1 16
1 18
1 20
1 22
6. Számítsa ki az f(x,y)=xy  függvény kettős integrálját az A(0,0) , B(1,1)  és C(1,1)  pontok által határolt háromszög felett.
2 3
3 4
3 2
4 3