KURZUS: Matematika 2.
MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai
3. lecke: Teljes függvényvizsgálat
Tanulási cél: A teljes függvényvizsgálat lépéseinek megismerése és gyakorlása. | |||||||||||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||||||||||||||
Függvénydiszkusszión annak vizsgálatát értjük, hogy egy függvény az értelmezési tartományának mely pontjaiban, vagy mely részhalmazain rendelkezik a függvényekre jellemző tulajdonságok valamelyikével. | |||||||||||||||||||||||||
A jellemző tulajdonságokat két csoportba oszthatjuk. | |||||||||||||||||||||||||
Az első csoportba az úgynevezett globális tulajdonságok tartoznak. Ide soroljuk azokat, amelyekkel egy függvény az értelmezési tartományának egy egész részhalmazán rendelkezik vagy nem rendelkezik, pl. növekedés vagy konvexitás. | |||||||||||||||||||||||||
A másik csoportba a lokális tulajdonságok tartoznak. Ezek azok, amelyek az értelmezési tartomány egy pontjában lépnek fel, pl. lokális szélsőérték, zérushely stb. | |||||||||||||||||||||||||
A függvények diszkusszióját a következő lépésekben végezzük: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||||||||
1. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||||||||
Egyszerű most a helyzetünk, mert látható, hogy a függvény mindenütt értelmezve van, ezért | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||||||||
Ezen értjük egyrészt annak meghatározását, hogy a függvény grafikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az egyenlet megoldásai adják. Megoldjuk tehát az | |||||||||||||||||||||||||
egyenletet. Az kiemelésével | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
ami akkor teljesül, ha vagy ha . Ebben a két pontban metszi tehát a grafikon az tengelyt. | |||||||||||||||||||||||||
Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a grafikon hol metszi az tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben adja a keresett pontot. A mi esetünkben | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a grafikon tehát átmegy az origón. | |||||||||||||||||||||||||
Továbbá ebben a lépésben vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az összetett függvény képletének előállításával kezdődik. | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páros, ha (tehát szimmetrikus az tengelyre), ez most nem teljesül, mivel | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páratlan, ha (tehát szimmetrikus az origóra), most ez sem teljesül, mivel | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||||||||
Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, ezért két limeszt kell kiszámolnunk: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol . Elkészítjük tehát a derivált függvényt: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
és megoldjuk az egyenletet. | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
aminek a két gyöke , illetve . | |||||||||||||||||||||||||
A derivált gyökei közül az értelmezési tartományba is beletartozók a lehetséges szélsőértékek. Mivel most a teljes valós számok halmaza az értelmezési tartomány, mindkét gyököt meg kell vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy a jelöltek közül azok valóban szélsőérték helyek, ahol a derivált függvény előjelet vált. | |||||||||||||||||||||||||
A jelöltek az értelmezési tartományt (további) darabokra bontják, és ezeken a darabokon a derivált függvény állandó előjelű, ezeket az előjeleket kell először meghatározni. Ezeket egy-egy, a darabokba eső számnak a derivált függvénybe való behelyettesítésével kaphatjuk meg. Az egész eljárást célszerű egy táblázatba foglalni. | |||||||||||||||||||||||||
A táblázat első sora a szélsőérték jelölteket és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza (a valós számok természetes rendezésében). | |||||||||||||||||||||||||
A második sorban az egyes darabokbeli előjele szerepel, (és az, hogy a derivált a jelöltekben nulla). | |||||||||||||||||||||||||
Az értelmezési tartományunk egy darabból áll, és két jelöltünk van, ezek tehát három darabra bontják az értelmezési tartományt. | |||||||||||||||||||||||||
A darabból vesszük mondjuk a -et, s ekkor azt kapjuk, hogy , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele. | |||||||||||||||||||||||||
A darabból vegyük például az -et, ekkor , ezért az egész darabon negatív az előjel. | |||||||||||||||||||||||||
Végül a darabból válasszuk a hármat, ekkor , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele. | |||||||||||||||||||||||||
Az alábbi táblázat első két sorában látjuk ezeket feltüntetve. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Látjuk azt is, hogy mindkét jelöltünk esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőérték hely. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maximum van. A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum van. | |||||||||||||||||||||||||
Ki kell még számolni a maximum és a minimum értékét: | |||||||||||||||||||||||||
, illetve . | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növő a függvény, ahol negatív, ott csökkenő. | |||||||||||||||||||||||||
Az előző táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza, felfelé mutató nyíllal jelölve a növekedést, illetve lefelé mutatóval a csökkenést. A növekedési viszonyokból is leolvasható, hogy egy adott szélsőérték hely maximum hely, vagy minimum hely. | |||||||||||||||||||||||||
5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy inflexiós pont ott lehet, ahol . Elkészítjük tehát a második deriváltat: | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldva az | |||||||||||||||||||||||||
, azaz a | |||||||||||||||||||||||||
egyenletet megoldásként adódik. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inflexiós pont jelölt. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy a jelöltek közül az(ok) valóban inflexiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba foglaljuk. | |||||||||||||||||||||||||
Az első sor most az inflexiós pont jelölteket, és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
A második sor a második derivált előjelét tartalmazza a keletkezett darabokon, és azt, hogy a jelöltünkben az értéke nulla. Egy jelöltünk van, ami az értelmezési tartományt két részre bontja. | |||||||||||||||||||||||||
Az első darabból vegyük a nullát, itt , ezért az egész darabon negatív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
A második darabból vegyük a kettőt, ekkor , tehát az egész darabon pozitív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
Az alábbi táblázatban láthatjuk ezeket. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az 1 inflexiós pont. Ki kell még számítanunk az inflexiós pont második koordinátáját: | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konvex a függvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
6. Grafikon. | |||||||||||||||||||||||||
Az eddig megszerzett információkat felhasználva felvázolható a függvény grafikonja. | |||||||||||||||||||||||||
Felvéve egy koordináta-rendszert először a nevezetes pontokat jelöljük meg, (tengelymetszetek, szélsőértékek, inflexiós pontok.) | |||||||||||||||||||||||||
Ezután vegyük figyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. | |||||||||||||||||||||||||
Végül, a konvexitási információkat is figyelembe véve, rajzoljuk meg a grafikont. | |||||||||||||||||||||||||
Ezt látjuk az alábbi ábrán. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
7. Értékkészlet. | |||||||||||||||||||||||||
A (helyes) grafikonról leolvasható az értékkészlet. | |||||||||||||||||||||||||
Most azt kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||||||||
A nevező , soha nem lehet nulla. Azt látjuk, hogy minden valós számra teljesül ez az egyenlet, így | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenlet megoldása , ami az tengellyel vett metszetet adja, azonban miatt, itt metszi a grafikon a függőleges tengelyt is. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény paritását vizsgálva látjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
tehát a függvény páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||||||||
Ismét csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve -et kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Teljesen hasonlóan | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván és esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van, meg kell ezért őket vizsgálni. | |||||||||||||||||||||||||
Elkészítjük a táblázatot. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az első darabból a -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
A második darabból -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
Végül a harmadik darabból -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy mindkét jelölt esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a lokális minimum hely, az lokális maximum hely. | |||||||||||||||||||||||||
A minimum értéke , a maximum értéke (a páratlanság miatt is) . | |||||||||||||||||||||||||
A fenti táblázat harmadik sorában megjelöltük a monotonitási szakaszokat. Látjuk, hogy a szélsőértékeken kívül a függvény csökkenő, a szélsőértékek között növő. | |||||||||||||||||||||||||
5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenletnek most három megoldása van: . Mindhárom az értelmezési tartományban van, ezért meg kell őket vizsgálni. Most az alábbi táblázatot készíthetjük el. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk: | |||||||||||||||||||||||||
az első tartományból válasszuk a -t, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a második tartományból a -et, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a harmadikból az -et, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a negyedikből -t, ekkor . | |||||||||||||||||||||||||
Látjuk, hogy mindhárom jelölt esetén megvan az előjelváltás, mind a három valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: , és . | |||||||||||||||||||||||||
A második táblázat harmadik sorában szerepelnek ezek az információk. Látjuk, hogy most az inflexiós pontok választják el a konkáv és konvex szakaszokat. | |||||||||||||||||||||||||
6. Grafikon. | |||||||||||||||||||||||||
A grafikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. A határértékek azt mondják, hogy a függvény a végtelenek felé hozzásimul az tengelyhez. Figyelembe véve a monotonitási és konvexitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a grafikon az origóra szimmetrikus. | |||||||||||||||||||||||||
7. Értékkészlet. | |||||||||||||||||||||||||
Az ábra alapján világos, hogy a függvény a lokális minimuma és a lokális maximuma közötti értékeket veszi fel, beleértve azokat is, tehát | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
3. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a nevezőben nulla nem lehet, így | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenletnek most két gyöke van: és . Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt. | |||||||||||||||||||||||||
A paritást vizsgálva: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a függvény tehát páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||||||||
Az értelmezési tartomány két darabból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.) | |||||||||||||||||||||||||
Ezek: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
hiszen a számláló -hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív. | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese. | |||||||||||||||||||||||||
4. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték(ek) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenlet megoldásai: , . | |||||||||||||||||||||||||
Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
Figyeljünk arra, hogy most a eleve két darabból áll. Ezeket vágja ketté a két jelölt, mivel különböző darabokba esnek. A táblázat fejlécében ezért négy darabot kell szerepeltetni. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Mindkét jelöltben előjelet vált a derivált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, lokális maximum hely. A lokális minimum értéke , a lokális maximum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, . | |||||||||||||||||||||||||
A táblázatunk harmadik sorából láthatjuk, hogy mik a monotonitási viszonyok. | |||||||||||||||||||||||||
5. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pont(ok) meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
akkor és csak akkor, ha , . Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével ellenőrizze le most az olvasó. | |||||||||||||||||||||||||
Az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is. | |||||||||||||||||||||||||
Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyforma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek. | |||||||||||||||||||||||||
A számlálóban egy másodfokú kifejezés áll, amelynek képe egy felfelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív. | |||||||||||||||||||||||||
Ezek alapján is megkaphatjuk a fenti előjeleket. | |||||||||||||||||||||||||
Mindkét jelölt inflexiós pont tehát. Az inflexiós pontok második koordinátái: , . | |||||||||||||||||||||||||
A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inflexiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a függvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a és közötti részt nem lehet egy darabként szerepeltetni a fejlécben. | |||||||||||||||||||||||||
A táblázat harmadik sorában szerepelnek az erre vonatkozó információk. | |||||||||||||||||||||||||
6. Grafikon. | |||||||||||||||||||||||||
Az eddigek figyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk fel: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
7. Az ábráról látszik, hogy | |||||||||||||||||||||||||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Hány lokális szélsőértéke van az függvénynek?
![]() | |||||||||
2. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
3. Van-e olyan harmadfokú polinom, amelynek nincs inflexiós pontja?
![]() | |||||||||
4. Az függvény lokális minimumának értéke
![]() | |||||||||
5. Az függvény lokális szélsőértékhelyei
![]() | |||||||||
6. Az függvény...
![]() | |||||||||
7. Az függvény...
![]() |
Összetettebb feladatok | |||||||||||||||||||
4. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||
A logaritmus argumentumára kell kikötést tennünk. Mivel minden -re, ezért . | |||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||
Megoldjuk először az | |||||||||||||||||||
egyenletet. Mivel a logaritmus egyedül -ben nulla, az kell, hogy | |||||||||||||||||||
legyen, ami esetén teljesül. Persze ekkor is fennáll, a grafikon tehát áthalad az origón. | |||||||||||||||||||
A paritást vizsgálva: | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
most tehát páros függvénnyel van dolgunk. | |||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
A párosság miatt ezek nem is lehetnek eltérők. | |||||||||||||||||||
4. Lokális szélszőértékek. | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
akkor és csak akkor, ha , egy szélsőérték jelöltünk van tehát. A szokásos táblázat elkészítésével megvizsgáljuk, hogy valóban szélsőérték-e. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Látjuk, hogy a jelöltünk valóban szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, a minimum értéke: . | |||||||||||||||||||
5. Monotonitási szakaszok. | |||||||||||||||||||
A harmadik sorból látszik, hogy a minimum hely előtt csökken, utána nő a függvény. | |||||||||||||||||||
6. Inflexiós pontok. | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
akkor és csak akkor, ha vagy . | |||||||||||||||||||
Az alábbi táblázatban mindkét jelöltet megvizsgáljuk. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Mindkét jelölt valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: . | |||||||||||||||||||
7. Konvex, konkáv szakaszok. | |||||||||||||||||||
Látjuk a harmadik sorból, hogy a függvény az inflexiós pontok között konvex, azokon kívül konkáv. | |||||||||||||||||||
8. Grafikon. | |||||||||||||||||||
Figyelembe véve az eddig megszerzett információkat, most az alábbi grafikont kapjuk. | |||||||||||||||||||
Most is ügyeljünk arra, hogy a párosság, azaz a grafikon tengelyre való szimmetrikussága, látszódjon. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
9. Értékkészlet. | |||||||||||||||||||
Látjuk, hogy . | |||||||||||||||||||
5. feladat: Végezzünk teljes függvényviszgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||
Mivel nem kell kikötést tennünk, így . | |||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||
A tengelymetszeteket vizsgálva: | |||||||||||||||||||
akkor és csak akkor, ha , a grafikon átmegy az origón. | |||||||||||||||||||
A paritást vizsgálva: | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
Ez nem az , és nem is annak mínusz egyszerese, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan. | |||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
hiszen a szorzat első tényezője mínusz végtelenbe, a második tényezője plusz végtelenbe tart. | |||||||||||||||||||
A határérték típusú, de átírható alakban törtté, és ez a típusú limesz a L'Hospital-szabály segítségével könnyen kiszámolható. A deriváltak hányadosának limesze | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
ezért | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
4. Lokális szélsőértékek. | |||||||||||||||||||
A deirválásnál a szorzat szabályt alkalmazva: | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
pontosan akkor, ha a szorzat valamelyik tényezője . Az első tényezőből , valamint a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla. | |||||||||||||||||||
A szokásos táblázatban megvizsgáljuk a jelöltet. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Az -ben tehát szélsőérték van, mégpedig lokális maximum, aminek értéke . | |||||||||||||||||||
5. Monotonitási viszonyok. | |||||||||||||||||||
A harmadik sor alapján a függvény -ig nő, utána csökken. | |||||||||||||||||||
6. Inflexiós pontok. | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
pontosan akkor, ha a szorzat valamelyik tényezője . Az első tényezőből , valamint a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla. Megvizsgáljuk a jelöltünket. A táblázat most | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A második derivált előjele az tényező előjelével azonos. Ez előtt negatív, utána pozitív. | |||||||||||||||||||
A -ben tehát inflexiós pont van. az inflexiós pont második koordinátája. | |||||||||||||||||||
7. Konvex, konkáv szakaszok. | |||||||||||||||||||
A második sor alapján az inflexiós pont előtt konkáv a függvény, utána konvex. | |||||||||||||||||||
8. Grafikon. | |||||||||||||||||||
Figyelembe véve az eddigieket a függvény ábrája: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
9. Értékkészlet. | |||||||||||||||||||
Az ábra alapján a függvény a lokális maximumát, és az annál kisebb értékeket veszi fel, (a lokális maximum most globális maximum is). | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
6. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||
1. Értelmezési tartomány. | |||||||||||||||||||
A nevezőbeli miatt | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
2. Alaki tulajdonságok. | |||||||||||||||||||
A függvény sehol sem nulla, hiszen a számláló semmilyen -re sem nulla, a grafikon nem metszi a vízszintes tengelyt. | |||||||||||||||||||
Mivel , a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt sem. | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
amiből látszik, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan. | |||||||||||||||||||
3. Limeszek az értelmezési tartomány szélein. | |||||||||||||||||||
Négy határértéket kell kiszámolnunk. | |||||||||||||||||||
Alkalmazva a L'Hospital-szabályt az eredeti típusú limeszre: | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
hiszen a számláló -hez, a nevező pedig nullához tart, de mindig negatív. | |||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||
mivel most a nevező a pozitív számokon keresztül tart nullához. | |||||||||||||||||||
Végül, ismét felhasználva a L'Hospital-szabályt, | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
4. Lokális szélsőértékek. | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
pontosan akkor, ha a tört számlálója . Mivel a számláló szorzat, így valamelyik tényezőjének kell -nak lennie, amiből . | |||||||||||||||||||
Figyeljünk most arra, hogy a jelölt a jobb oldali felébe esik, azt vágja ketté, ezért a fejléc az alábbi három intervallumot tartalmazza. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Az -ben tehát lokális minimum van, amelynek értéke: . | |||||||||||||||||||
5. Monotonitási viszonyok. | |||||||||||||||||||
Figyeljük meg, hogy - összhangban a nulla körüli limeszekkel - a nulla bal és jobb oldali környezetében is csökkenő a függvény. | |||||||||||||||||||
6. Inflexiós pontok | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
Újra egy törtet kell vizsgálnunk, hogy az hol , mely akkor lehetséges, ha a tört számlálója . Mivel a számláló szorzat, így valamelyik tényezőjének kell -nak lennie. Azt látjuk, hogy az diszkriminánsa negatív, amiből , tehát nincs inflexiós pont. | |||||||||||||||||||
7. Konvex, konkáv szakaszok. | |||||||||||||||||||
Nincs ugyan inflexiós pont, de a második táblázatot most is el kell készíteni, mert a konvex és konkáv szakaszok abból olvashatók ki. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Az előjelekkel kapcsolatban jegyezzük meg, hogy most előjele (mivel a számlálója mindig pozitív) a nevezője előjelével egyezik meg, az pedig negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív. | |||||||||||||||||||
8. Grafikon. | |||||||||||||||||||
Ezek után elkészíthetjük a függvény ábráját, ami az alábbi: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
9. Az ábra alapján | |||||||||||||||||||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
8. Az függvény csökken az alábbi intervallum(ok)on
![]() | |||||||||
9. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
10. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
11. Hány lokális szélsőértékhelye van az függvénynek?
![]() | |||||||||
12. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
13. Az függvény konkáv a intervallumon.
![]() |