KURZUS: Matematika 2.
MODUL: I. modul: A differenciálszámítás alkalmazásai
1. lecke: A L'Hospital-szabály
Tanulási cél: Egy újabb, hatékony határértékszámítási módszer, a L'Hospital-szabály megismerése, és alkalmazásának elsajátítása a különböző típusú határozatlan határértékek esetében. | |||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||
Korábban a Matematika 1. tárgyban foglalkoztunk már határértékszámítási feladatokkal. Gyakran találkozhatunk olyan határértékszámítási problémákkal, melyek nem oldhatóak meg a korábban tanult módszerekkel, így például a vagy típusú határértékek, valamint az ezekre visszavezethetőek. Ezen típusok meghatározására ad hatékonyt módszert a L'Hospital-szabály. | |||||||
Tegyük fel, hogy a | |||||||
határérték vagy típusú, | |||||||
és egy környezetében, esetleg -től eltekintve, is és is differenciálható, továbbá és . | |||||||
Ha a határérték létezik és véges, akkor az is teljesül, hogy | |||||||
. | |||||||
A jelölhet egy véges értéket, valamint mindkét végtelent is. | |||||||
A tétel rövid és pontatlan megfogalmazása: a tört limesze a deriváltak hányadosának a limeszével egyenlő. | |||||||
Fontos, hogy csak határozatlan alakú határértékek kiszámolására próbáljuk a tételt alkalmazni, különben hibás eredményt ad. | |||||||
Előfordulhat olyan eset, amikor a szabály egyszeri alkalmazása nem elegendő, mert a deiváltak hányadosa újra határozatlan alakot ad. Ekkor (ha a feltételek teljesülnek) újra alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt. Ilyenkor az újabb deriválás előtt célszerű a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezni. | |||||||
A feladatmegoldások során először mindig megvizsgáljuk, hogy milyen típusú határértékről van szó. A vagy típusú határozatlan esetekben közvetlenül alkalmazható a L'Hospital-szabály. Ezeken túlmenően további öt esetet sorolunk fel, melyekre bizonyos átalakítások után a szabály alkalmazható. | |||||||
| |||||||
Az alábbiakban mindegyik esetre mutatunk példákat. | |||||||
Érdemes megjegyezni, hogy ez a témakör nagyban épít a Matematika 1. tárgyban tanult határértékszámítás és differenciálszámítás támakörök biztos ismeretére (lásd 8. Határérték, 9. Differenciálszámítás bevezetése és a 10. Deriválási szabályok című leckékben). | |||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||
1. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: Most egy típusú határértékkel van dolgunk, így a L'Hospital-szabályt közvetlenül tudjuk alkalmazni. Ennek érdekében külön deriváljuk a számlálót és külön deriváljuk a nevezőt, s ennek a hányadosnak vesszük az eredeti helyen vett határértékét. Ez most | |||||||
. | |||||||
Ebben a formájában ez egy típusú határérték, látszólag nem jutottunk előre. De az utóbbi határérték átalakítható (megszüntetjük az emeletes törtet), és ezután könnyen kiszámolható a határérték: | |||||||
. | |||||||
A deriváltak hányadosának plusz végtelen a limesze, így tételünk értelmében ennyi az eredeti limesz is, azaz | |||||||
. | |||||||
2. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolni. Tekintjük a deriváltak hányadosának a határértékét. | |||||||
. | |||||||
Ez is egy típusú határérték. Kiszámolásához a L'Hospital-szabályt újra alkalmazzuk. | |||||||
A deriváltak hányadosának határértéke most | |||||||
. | |||||||
A tételünk értelmében ekkor | |||||||
is teljesül, majd még egyszer alkalmazva a tételt | |||||||
is fennáll. Tehát ebben az esetben kétszer alkalmaztuk egymás után a L'Hospital-szabályt. | |||||||
3. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A limesz típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét: | |||||||
. | |||||||
Ez még mindig típusú. Nézzük tehát a | |||||||
határértéket, de ez még mindig típusú. Végül, még egyszer képezve a deriváltak hányadosának határértékét, kapjuk, hogy | |||||||
, | |||||||
ezért sorban minden limesz nullával egyenlő, így az eredeti is, azaz | |||||||
. | |||||||
Tehát ebben az esetben háromszor alkalmaztuk egymás után a L'Hospital-szabályt. | |||||||
4. feladat: Számoljuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A -t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték típusú. Tehát tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét, ami | |||||||
. | |||||||
Ennyi tehát az eredeti limesz is: | |||||||
. | |||||||
5. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A -t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték típusú. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét: | |||||||
. | |||||||
Tehát az eredeti határértékre is fennáll, hogy | |||||||
. | |||||||
6. feladat: Számoljuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A -t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték típusú. Most a deriváltak hányadosának limesze: | |||||||
, | |||||||
ami a -t való behelyettesítést követően újra típusú. Ebből kapjuk a deriváltak hányadosát képezve a | |||||||
eredményt, s így ennyi az eredeti limesz is, | |||||||
. | |||||||
Akár eszünkbe juthatott volna az első deriválás után egy trigonometrikus azonosság is, mely alapján | |||||||
. | |||||||
Ez persze így is egy típusú limesz, de ha most vesszük a deriváltak hányadosának limeszét, azt kapjuk, hogy | |||||||
, | |||||||
és ismét hivatkozhatunk arra, hogy a tételünk alapján az eredeti határérték is ennyi. Ezen az úton a deriválás némileg egyszerűbb volt. | |||||||
Az ilyenféle átalakítások gyakran jelentős egyszerűsödést tudnak eredményezni. | |||||||
7. feladat: Számoljuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A -t behelyettesítve kapjuk, hogy a határérték típusú. A deriváltak hányadosának limesze így: | |||||||
. | |||||||
Ez továbbra is típusú, de átalakítható a következő módon: | |||||||
. | |||||||
A tétel alapján az eredeti limesz is ennyi: | |||||||
. | |||||||
Ha a fenti átalakítási lehetőséget nem vesszük észre, akkor ismét a L'Hospital-szabály alkalmazásával próbálkozhatnánk, ekkor azt kapnánk, hogy: | |||||||
. | |||||||
Most tehát így is célhoz értünk. Néha azonban az egyszerűsítések elvégzése nélkül nem számítható ki a limesz. | |||||||
8. feladat: | |||||||
Megoldás: | |||||||
Tehát újra egy típusú limesszel van dolgunk. Most a deriváltak hányadosának limesze: | |||||||
. | |||||||
Ez továbbra is típusú. Vegyük észre azonban, hogy a problémát okozó tényezővel egyszerűsíthetünk. Ekkor kapjuk, hogy | |||||||
. | |||||||
Persze az eredeti limesz is ezzel egyenlő: | |||||||
. | |||||||
Ha most a deriváltak hányadosában nem egyszerűsítenénk a tényezővel, hanem ismét tekintenénk a deriváltak hányadosának limeszét, akkor az továbbra is típusú maradna, és ez történne akárhányszor vennénk, az egyébként egyre bonyolultabb deriváltak hányadosának limeszét. Ezért, ha lehet, akkor mindig egyszerűsítsünk! | |||||||
9. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: Ez a határérték egy típusú szorzat. A negatív kitevőjű hatvány miatt kínálkozik a | |||||||
tört alakú átírás. | |||||||
Így egy típusú tört határértékének a kiszámítására vezettük vissza a feladatot, melyre már alkalmazható a L'Hospital szabály. Véve a deriváltak hányadosának határértékét, arra jutunk, hogy | |||||||
. | |||||||
Tehát az eredeti limesz is ennyi: | |||||||
. | |||||||
10. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: A feladat egyoldali határértékszámítással kapcsolatos ismeretekre épül (lásd Matematika 1. tárgy 8.Határérték című lecke). | |||||||
Az egyoldali határértékeket megvizsgálva kapjuk, hogy a szorzatunk limesze típusú. Mivel elemi alapfüggvény, a | |||||||
átírást választjuk. | |||||||
Így egy típusú határérték kiszámítása a feladatunk, melyre alkalmazható a L'Hospital szabály. Tekintsük a deriváltak hányadosának határértékét: | |||||||
. | |||||||
Ez egy típusú határérték. Alkalmazhatjuk ismét a L'Hospital-szabályt, és egy lépésben célhoz jutunk, de talán még egyszerűbb, ha felhasználjuk a nevezetes határértéket. Ekkor | |||||||
. | |||||||
Ezzel egyenlő az eredeti limesz is: | |||||||
. | |||||||
11. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolni. Vezessük be a | |||||||
jelölést. | |||||||
Vegyük ezután mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. Ezt megtehetjük, mert ha létezik a limesz, akkor . (Az hatvány definíciójánál fogva pozitív.) Ekkor, felhasználva még a logaritmus függvény folytonosságát is, írhatjuk, hogy | |||||||
, | |||||||
, | |||||||
majd felhasználva a logaritmus egy azonosságát | |||||||
. | |||||||
A bal oldalon álló határérték típusú. Átírjuk őt tört alakba: | |||||||
. | |||||||
Így típusú határértékre jutunk. Vegyük a deriváltak hányadosának a határértékét, felhasználva, hogy | |||||||
, | |||||||
és abban alakítsuk át az emeletes törtet. Ekkor kapjuk, hogy | |||||||
. | |||||||
Ez utóbbi egy típusú határérték, amit egyszerű átalakításokkal kiszámolhatunk. | |||||||
. | |||||||
Azt kaptuk tehát, hogy | |||||||
, | |||||||
amiből | |||||||
. | |||||||
Ennyi tehát az eredeti limesz is: | |||||||
. | |||||||
12. feladat: | |||||||
Megoldás: A határérték típusú. Az előző feladatban látott eljárást alkalmazva | |||||||
, | |||||||
, | |||||||
, | |||||||
. | |||||||
A bal oldalon álló limesz típusú ( és ). Törtté átírva az alábbi limeszhez jutunk: | |||||||
. | |||||||
Ezzel típusúvá alakítottuk a kiszámolandó limeszt. Vesszük a deriváltak hányadosának határértékét, és egyszerűsítünk: | |||||||
, | |||||||
lévén, hogy az első tényező limesze . Az így kapott limesz típusú, amit | |||||||
alakban törtté alakítunk. Így típusú limeszt kapunk, alkalmazhatjuk tehát a L'Hospital-szabályt. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét: | |||||||
. | |||||||
Tehát | |||||||
, (ne feledkezzünk meg a limesz előtt álló -ről), | |||||||
amiből | |||||||
. | |||||||
Végül is tehát | |||||||
. | |||||||
13. feladat: Számítsuk ki a határértéket. | |||||||
Megoldás: Könnyen látható, hogy egy típusú határértékkel van dolgunk. A következőképp járhatunk el. | |||||||
Kiemelünk mindkét tagból -t. (A gyorsabban növőt célszerű kiemelni, melyhez a függvény ábrája lehet segítség.) Ekkor a | |||||||
határétékhez jutunk. Itt az első tényező plusz végtelenbe tart, továbbá kétszer alkalmazva a L'Hospital-szabályt | |||||||
, | |||||||
ezért a zárójeles kifejezés limesze 1. A szorzat is tart tehát a plusz végtelenbe. | |||||||
. | |||||||
14. feladat: | |||||||
Megoldás: Akár jobbról, akár balról tart az nullához, az és az azonos előjelűen tart nullához, tehát a reciprokuk különbségének határértéke azonos előjelű végtelenek különbsége. | |||||||
A törtek különbsége miatt közös nevezőre hozunk: | |||||||
. | |||||||
Ez típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának határértékét: | |||||||
, | |||||||
ami továbbra is típusú. Még egyszer véve a deriváltak hányadosának limeszét: | |||||||
. | |||||||
Ezért | |||||||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1.
![]() | |||||||||
2.
![]() | |||||||||
3.
![]() | |||||||||
4.
![]() | |||||||||
5.
![]() | |||||||||
6.
![]() | |||||||||
7.
![]() | |||||||||
8.
![]() | |||||||||
9.
![]() | |||||||||
10.
![]() | |||||||||
11.
![]() | |||||||||
12.
![]() |