KURZUS: Matematika 2.

MODUL: II. modul: Síkgörbék

6. lecke: Paraméteres síkgörbék

Elméleti összefoglaló

Tekintsük a következő ábrán látható síkgörbét. Ez tekinthető az f(x)= 4 x 2 , D f =[ 2,2 ]  függvény grafikonjának, az x 2 + y 2 =4  implicit módon megadott függvény [ 2,2 ]×[ 0,3 ]  téglalapba eső darabjának, azoknak a pontoknak a mértani helyének a síkon, amelyek az origótól 2  egység távolságra vannak és a második koordinátájuk nem negatív.

Végül úgy is tekinthetünk erre a vonalra, mint egy síkban mozgó test egy pontjának a pályájára.

6.1. ábra

Ha a síkgörbe ezt akarja reprezentálni, akkor az előző három leírás mindegyikével kapcsolatban hiányosságok merülnek fel. Például egyikből sem derül ki, hogy melyik a kezdőpont, melyik irányban haladt végig a test a pályáján, a mozgás kezdete után t  időponttal a pálya melyik pontjában volt éppen a test megfigyelt pontja.

Egy mozgó pont pályáját, egy síkgörbét, matematikailag úgy is le lehet írni, hogy megadjuk, hogy a mozgás kezdete után egy t  időpontban mi mozgó pont két, t-től nyilván függő, ( x( t ),y( t ) )  koordinátája.

Kicsit pontosabban egy C  síkgörbe paraméteres megadása esetén megadunk két, ugyanazon az [ a,b ]  intervallumon értelmezett f  és g  függvényt, és tekintjük a síkon az összes ( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  koordinátájú pontot. A C  görbe paraméterezése a

c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]

formula.

Az f( t )  és g( t )  formulákat paraméteres egyenleteknek hívjuk, az [ a,b ]  intervallum a paraméter intervallum.

Síkgörbe paraméteres megadása
6.2. ábra

Az ( f( a ),g( a ) )  pont a görbe kezdőpontja, a ( f( b ),g( b ) )  pont a görbe végpontja.

Példaként tekintsük a

c( t )=( t 2 ,t1 ),t[ 0,2 ]

paraméterezést. Az alábbi ábrán a görbét látjuk, néhány paraméterértékhez tartozó pontot külön is feltüntetve, és a görbe bejárásának irányát is.

A c( t )=( t 2 ,t1 ),t[ 0,2 ]  paraméterezésű görbe
6.3. ábra

Hasonlóan az implicit formulával adott görbékhez, a paraméteresen megadott görbéknek is általában számos olyan darabja van, amelyek tekinthetők egy egyváltozós függvény grafikonjának is. Az ilyen darabokat az eredeti paraméter intervallum egy részintervallumának a megadásával lehet kijelölni. Például a

c( t )=( 2cos( t ),2sin( t ) ),t[ 0,2π ]

paraméterezéssel megadott görbe egy origó középpontú 2  sugarú kör. Ennek a második síknegyedbe eső része az f( x )= 4 x 2 , D f =[ 2,0 ]  függvény grafikonja. Ennek a görbedarabnak a paraméterezése c ˜ ( t )=( 2cos( t ),2sin( t ) ),t[ π 2 ,π ] .

Az alábbi ábra mutatja a görbét és a bejárás irányát.

Egy negyedkör
6.4. ábra

Tekintsük az c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  paraméterezést. Tegyük fel, hogy az f( t )  és g( t )  függvények deriválhatók az ( a,b )  intervallumban és folytonosak is, továbbá f ( t )0  egyetlen ( a,b )  intervallumba eső t-re sem. Ekkor a paraméterezés egy olyan görbét definiál amely tekinthető egy y=F( x ) , D F =[ f( a ),f( b ) ]  függvény grafikonjának. Ennek a függvénynek a deriváltja a t * ( a,b )  paraméterértékhez tartozó x=f( t * )  helyen

F ( f( t * ) )= F ( x )= y = g ( t * ) f ( t * ) .

Ebből következik, hogy a görbe t * -hoz tartozó ( f( t * ),g( t * ) )  pontjához tartozó érintő meredeksége g ( t * ) f ( t * ) , és az érintő egyenlete

y= g ( t * ) f ( t * ) ( xf( t * ) )+g( t * ) .

Általában az y = g ( t ) f ( t )  formulát paraméteres deriváltnak hívjuk.

A c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  paraméterezésű görbe sima, ha az f  és g  függvények differenciálhatók a nyílt ( a,b )  intervallumon, és az ( a,b )  intervallumban nincs olyan paraméterérték, amelyre egyszerre nulla az f  és a g  derivált is.

Az, hogy egy görbe sima azt jelenti, hogy görbének nincs éles csúcspontja, ha a görbét elég közelről nézzük, akkor kisimul, minden kis darabja jó közelítéssel egyenes.

A c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  paraméterezésű sima görbének vízszintes érintője van abban a t * ( a,b )  paraméterhez tartozó ( f( t * ),g( t * ) )  pontban, ahol g ( t * )=0 , és ugyanakkor f ( t * )0 . Függőleges érintője van abban a t * ( a,b )  paraméterhez tartozó ( f( t * ),g( t * ) )  pontban, ahol g ( t * )0 , és ugyanakkor f ( t * )=0 .

Kidolgozott feladatok

1. feladat. Tekintsük a c( t )=( 2t1, t 2 ),t[ 0,2 ]  paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres deriváltat.

Megoldás: A paraméterezésről leolvassuk, hogy f( t )=2t1 , ezért f ( t )=2 . Hasonlóan g( t )= t 2 , tehát g ( t )=2t . Ezeket az y = g ( t ) f ( t )  formulába helyettesítve a paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = 2t 2 =t

2. feladat. Tekintsük a c( t )=( t 2 +t,t 1 t ),t[ 1,4 ]  paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres deriváltat.

Megoldás: Ugyanúgy eljárva, mint az előbb kapjuk, hogy f( t )= t 2 +t , így f ( t )=2t+1 , és g( t )=t 1 t , amiből g ( t )=1+ 1 t 2 . Ezek felhasználásával a paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = 1+ 1 t 2 2t+1 = t 2 +1 2 t 3 + t 2 .

3. feladat. Tekintsük a c( t )=( ln( t ), e 2t ),t[ 1 2 ,2 ]  paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres derivált értékét a t=1  paraméterérték esetén.

Megoldás: Mivel f( t )=ln( t ) , ezért f ( t )= 1 t , továbbá g( t )= e 2t , amiből g ( t )=2 e 2t . Ezek felhasználásával a paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = 2 e 2t 1 t =2t e 2t .

Végül ennek helyettesítési értéke t=1 -ben

y =2 e 2 .

4. feladat. Tekintsük a c( t )=( 2( tsin( t ) ),2( 1cos( t ) ) ),t[ 0,2π ]  paraméterezést és határozzuk meg a paraméteres derivált értékét a t= π 6  paraméterérték esetén.

Megoldás: Most f( t )=2( tsin( t ) ) , tehát f ( t )=2( 1cos( t ) ) , és g( t )=2( 1cos( t ) ) , tehát g ( t )=2sin( t ) . Ezekből a paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = 2sin( t ) 2( 1cos( t ) ) = sin( t ) 1cos( t ) .

Ennek helyettesítési értéke a t= π 6  értékre

y = sin( π 6 ) 1cos( π 6 ) = 1 2 1 3 2 = 1 2 3 .

5. feladat. Írjuk fel a c( t )=( 2t+1, t 3 t 2 +1 ),t[ 0,2 ]  paraméterezésű görbe t=1  paraméterhez tartozó érintőjét.

Megoldás: Először meghatározzuk az érintési pont koordinátáit. Mivel f( t )=2t+1 , f( 1 )=3 , hasonlóan g( t )= t 3 t 2 +1 , g( 1 )=1 . Az érintési pont tehát a P( 3,1 )  pont. A következő lépés a paraméteres derivált előállítása. Felhasználva, hogy f ( t )=2  és g ( t )=3 t 2 2t , kapjuk, hogy

y = g ( t ) f ( t ) = 3 t 2 2t 2 .

ennek helyettesítési értéke a t=1  értékre

y = g ( 1 ) f ( 1 ) = 32 2 = 1 2 .

A keresett érintő meredeksége tehát 1 2 . A t=1  paraméterhez tartozó érintő egyenlete tehát

y= g ( 1 ) f ( 1 ) ( xf( 1 ) )+g( 1 )=

= 1 2 ( x3 )+1= x 2 1 2 .

6. feladat. Írjuk fel a c( t )=( tcos( t ),tsin( t ) ),t[ 0,2π ]  paraméterezésű görbe t= π 2  paraméterhez tartozó érintőjét.

Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kezdünk. Most f( t )=tcos( t ) , f( π 2 )= π 2 cos( π 2 )= π 2 0=0 , és g( t )=tsin( t ) , g( π 2 )= π 2 sin( π 2 )= π 2 1= π 2 . tehát az érintési pont a P( 0, π 2 )  pont. A paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = sin( t )+tcos( t ) cos( t )tsin( t ) .

Ebbe helyettesítünk t= π 2 -t,

y = g ( π 2 ) f ( π 2 ) = sin( π 2 )+ π 2 cos( π 2 ) cos( π 2 ) π 2 sin( π 2 ) = 1+ π 2 0 0 π 2 1 1 π 2 = 2 π .

A keresett érintő meredeksége így 2 π . Ezután már könnyű felírni az érintő egyenletét:

y= g ( π 2 ) f ( π 2 ) ( xf( π 2 ) )+g( π 2 )= 2 π ( x0 )+ π 2 =

= 2x π + π 2 .

7. feladat. Írjuk fel a c( t )=( e t ,2 e t 1 ),t[ 1,2 ]  paraméterezésű görbe P( 1,1 )  ponton átmenő érintőjét.

Megoldás: Azzal kezdjük, hogy megvizsgáljuk, hogy a P( 1,1 )  pont illeszkedik-e a görbére. Azt keressük, hogy van-e olyan t  érték, amelyre teljesül az

{ e t =1 2 e t 1=1

egyenletrendszer. Az első egyenletből t=0 , ha ezt a másodikba beírjuk 2 e 0 1=1 , tehát ez az egyenlet is teljesül. Így a P( 1,1 )  pont illeszkedik a görbére, a t=0  paraméterértékhez tartozik. Most a paraméteres derivált, mivel f( t )= e t , és g( t )=2 e t 1 ,

y = g ( t ) f ( t ) = 2 e t e t .

Ennek a t=0  helyen vett helyettesítési értéke adja az érintő meredekségét, ami tehát

y = g ( 0 ) f ( 0 ) = 2 e 0 e 0 =2 .

Ezek felhasználásával az érintő egyenlete

y= g ( 0 ) f ( 0 ) ( xf( 0 ) )+g( 0 )=

=2( x1 )+1=2x+3 .

8. feladat. Írjuk fel a c( t )=( t 2 +t, t 2 t 3 ),t[ 2,2 ]  paraméterezésű görbe P( 0,2 )  ponton átmenő érintőjét.

Megoldás: Ismét az az első, hogy ellenőrizzük vajon a P( 0,2 )  pont illeszkedik-e a görbére. Ez akkor teljesül, ha megoldható a

{ t 2 +t=0 t 2 t 3 =2

egyenletrendszer. Az első egyenletből t=0  vagy t=1 . Ha a második egyenletbe t=0  helyettesítünk az nem teljesül, ha viszont t=1 -et akkor igen, hiszen ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 =1( 1 )=2 . A pont ezek szerint a t=1  paraméterhez tartozik. Most a paraméteres derivált

y = g ( t ) f ( t ) = ( t 2 t 3 ) ( t 2 +t ) = 2t3 t 2 2t+1 .

Az érintő meredeksége tehát

y = g ( 1 ) f ( 1 ) = 2( 1 )3 ( 1 ) 2 2( 1 )+1 = 5 1 =5 .

Így az érintő egyenlete

y= g ( 1 ) f ( 1 ) ( xf( 1 ) )+g( 1 )=

=5( x0 )+2=5x+2 .

9. feladat. Írjuk fel a c( t )=( 2t1, t 3 ),t[ 2,2 ]  paraméterezésű görbe m= 3 2  meredekségű érintőjének egyenletét.

Megoldás: Nem ismert az érintési pont, annak meghatározásával kezdünk. Pontosabban, kiszámoljuk, hogy az érintési pont milyen paraméterhez tartozik. Tudjuk, hogy

m= y = g ( t ) f ( t ) = ( t 3 ) ( 2t1 ) = 3 t 2 2 = 3 2 .

Ebből t=±1 . Két olyan pont is van tehát a görbén, amelyben az érintő meredeksége 3 2 , a P( 3,1 )  és a Q( 1,1 )  pont.

A P( 3,1 )  pontban húzott érintő egyenlete

y= g ( 1 ) f ( 1 ) ( xf( 1 ) )+g( 1 )= 3 2 ( x( 3 ) )+( 1 )=

= 3x 2 + 7 2 .

A Q( 1,1 )  pontban húzott érintő egyenlete

y= g ( 1 ) f ( 1 ) ( xf( 1 ) )+g( 1 )= 3 2 ( x1 )+1=

= 3x 2 1 2 .

10. feladat. Írjuk fel a c( t )=( t 3 , t 2 +t ),t[ 2,2 ]  paraméterezésű görbe m=1  meredekségű érintőjének egyenletét.

Megoldás: Most sem ismert az érintési pont. De mivel

m= y = g ( t ) f ( t ) = ( t 2 +t ) ( t 3 ) = 2t+1 3 t 2 =1 ,

az érintési pontot meghatározó paraméter kielégíti a

3 t 2 2t1=0

egyenletet. Ennek két megoldása van: t 1 = 1 3 , és t 2 =1 .

A t 1  paraméterhez tartozó érintési pont P( ( 1 3 ) 3 , ( 1 3 ) 2 1 3 )=P( 1 27 , 2 9 ) , az itteni érintő tehát

y= g ( 1 3 ) f ( 1 3 ) ( xf( 1 3 ) )+g( 1 3 )=1( x( 1 27 ) ) 2 9 =

=x 5 27 .

Hasonlóan a t 2  paraméterhez tartozó érintési pont Q( 1,2 ) , az itt húzható érintő egyenlete

y= g ( 1 ) f ( 1 ) ( xf( 1 ) )+g( 1 )=1( x1 )+2=

=x+1 .

11. feladat. Határozzuk meg, hogy a c( t )=( t 2 4, t 3 3t ),t[ 2,2 ]  paraméterezésű görbe melyik pontjában vízszintes, és melyik pontjában függőleges az érintője.

Megoldás: A paraméteres derivált most

y = g ( t ) f ( t ) = ( t 3 3t ) ( t 2 4 ) = 3 t 2 3 2t .

A számláló most ±1 -ben nulla, a nevező egyik esetben sem, a görbe tehát sima.

Tudjuk, hogy vízszintes az érintő abban a ( 2,2 )  nyílt intervallumba eső paraméterértékhez tartozó pontban, ahol ennek a törtnek a számlálója nulla, de a nevezője nem.

Ezért vízszintes az érintő a 1  paraméterhez tartozó P 1 ( 3,2 )  pontban és az 1  paraméterhez tartozó P 2 ( 3,2 )  pontban.

Függőleges az érintő abban a ( 2,2 )  nyílt intervallumba eső paraméterértékhez tartozó pontban, ahol a paraméteres deriváltat megadó tört nevezője nulla, de a számlálója nem. Ez most a 0  paraméterértékre teljesül. Az ehhez tartozó pont a Q( 4,0 )  pont.

12. feladat. Határozzuk meg, hogy a c( t )=( 2 t 3 3 t 2 12t,2 t 3 +3 t 2 12t ),t[ 3,3 ]  paraméterezésű görbe melyik pontjában vízszintes, és melyik pontjában függőleges az érintője.

Megoldás: Tekintjük a paraméteres deriváltat:

y = g ( t ) f ( t ) = ( 2 t 3 +3 t 2 12t ) ( 2 t 3 3 t 2 12t ) = 6 t 2 +6t12 6 t 2 6t12 = t 2 +t2 t 2 t2 .

Ennek számlálója nulla 1-ben és 2 -ben, a nevezője nulla 2-ben és 1 -ben. A számlálónak és a nevezőnek nincs tehát közös gyöke, ez a görbe is sima, és ezek az értékek mind a ( 3,3 )  nyílt intervallumba esnek.

Ezek után a görbének vízszintes az érintője az 1 és 2  paraméterértékhez tartozó P 1 ( 13,7 )  és P 2 ( 4,20 )  pontokban.

Végül a görbének függőleges az érintője az 2 és 1  paraméterértékhez tartozó Q 1 ( 20,4 )  és Q 2 ( 7,13 )  pontokban. Az alábbi ábrán a görbét, és ezeket a pontokat látjuk.

6.5. ábra
Elméleti összefoglaló

A síkgörbék egyik legfontosabb numerikus jellemzője a görbe ívhossza, amit intuitívan úgy képzelhetünk el, mintha a görbe vékony nyújthatatlan fonálból lenne, és azt feszesre húznánk.

Tekintsünk egy c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  paraméterezésű sima görbét. Osszuk fel az [ a,b ]  intervallumot a t 1 , t 2 ,, t n1  osztópontokkal n  darab egyenlő hosszú részintervallumra, és legyen t 0 =a , t n =b , ahogy azt az alábbi ábrán látjuk. Ekkor a P k ( f( t k ),g( t k ) )  pontok a görbén fekszenek és kiszámolható a P 0 , P 1 ,, P n  pontok által meghatározott töröttvonal hossza, ami persze a P k1 P k  szakaszok hosszának az összege. A P k1 P k  szakasz hossza nyilván

d( P k1 , P k )= ( f( t k )f( t k1 ) ) 2 + ( g( t k )g( t k1 ) ) 2 ,

így a töröttvonal hossza

k=1 n d( P k1 , P k ) .

Görbe és a beírt töröttvonal

Ez az összeg közelíti a görbe s  ívhosszát: s k=1 n d( P k1 , P k ) , és érezzük, hogy ez a közelítés

annál jobb, minél több részre osztjuk az [ a,b ]  intervallumot.

Megmutatható, hogy a fenti módon konstruált beírt töröttvonalak hossza sima görbe esetén konvergál egy számhoz, ha az [ a,b ]  intervallum felosztásainak egy minden határon túl finomodó felosztássorozatát tekintjük. Ezt a számot hívjuk a görbe [ a,b ]  intervallumhoz tartozó ívének az ívhosszának. Erre az ívhosszra a következő tétel bizonyítható.

Tétel: Ha a c( t )=( f( t ),g( t ) ),t[ a,b ]  paraméterezésű sima görbe nem metszi önmagát kivéve esetleg a t=a  és t=b  paraméterekhez tartozó pontokat, akkor a görbe [ a,b ]  intervallumhoz tartozó ívének ívhossza

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt .

Egy sima görbe biztosan nem metszi önmagát, ha az f  és a g  függvények valamelyike szigorúan monoton ( a,b ) -n.

Kidolgozott feladatok

13. feladat. Tekintsük a c( t )=( 1t,2t1 ),t[ 0,2 ]  paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát.

Megoldás: A feladatban f( t )=1t  és g( t )=2t1 . Mindkét függvény deriválható, a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a ( 0,2 )  intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét koordináta függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula. Mivel f ( t )=1  és g ( t )=2 ,

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt= 0 2 ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 dt= 0 2 5 dt=

= [ 5 t ] 0 2 =2 5 .

A görbénk ívhossza tehát s=2 5 .

14. feladat. Tekintsük a c( t )=( t 2 +1,2 t 2 1 ),t[ 0,1 ]  paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát.

Megoldás: A mostani feladatban f( t )= t 2 +1  és g( t )=2 t 2 1 . Mindkét függvény deriválható, f ( t )=2t  és g ( t )=4t , a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a ( 0,1 )  intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula. Tehát

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt= 0 1 ( 2t ) 2 + ( 4t ) 2 dt= 0 1 20 t 2 dt=

= 0 1 20 tdt= [ 20 t 2 2 ] 0 1 = 20 2 = 5 .

15. feladat. Tekintsük a c( t )=( 2 t 2 ,3 t 3 ),t[ 0,1 ]  paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát.

Megoldás: Mivel f( t )=2 t 2  és g( t )=3 t 3 , látjuk hogy mindkét függvény deriválható, f ( t )=4t  és g ( t )=9 t 2 , a deriváltak folytonosak, és egyik derivált sem nulla sehol sem a ( 0,1 )  intervallumon, tehát egyszerre sem nullák. Ezért a görbe sima. Mindkét függvény szigorúan monoton, ezért a görbe nem metszi önmagát, alkalmazható a fenti integrál formula.

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt= 0 1 ( 4t ) 2 + ( 9 t 2 ) 2 dt= 0 1 16 t 2 +81 t 4 dt=

= 0 1 t 16+81 t 2 dt= 1 162 0 1 162t h ( t ) ( 16+81 t 2 ) 1 2 ( h( t ) ) 1 2 dt=

= 1 162 [ ( 16+81 t 2 ) 3 2 3 2 ] 0 1 = 1 243 [ ( 16+81 t 2 ) 3 ] 0 1 = 1 243 ( 97 3 16 3 )3.668 .

A továbbiakban nem vizsgáljuk a fenti integrál képlet alkalmazhatóságának feltételei, hanem ívhossz számítás során feltesszük, hogy azok teljesülnek.

16. feladat. Tekintsük a c( t )=( e t + e t ,12t ),t[ 0,1 ]  paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát.

Megoldás: Mivel most f( t )= e t + e t  és g( t )=12t , f ( t )= e t e t  és g ( t )=2 . Ezért az ívhossz

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt= 0 1 ( e t e t ) 2 + ( 2 ) 2 dt= 0 1 ( e t ) 2 2+ ( e t ) 2 +4 dt=

= 0 1 ( e t ) 2 +2+ ( e t ) 2 dt= 0 1 ( e t + e t ) 2 dt= 0 1 | e t + e t >0( 0,1 )en | dt= 0 1 ( e t + e t ) dt=

= [ e t e t ] 0 1 =e 1 e 2.35 .

Az ívhosszt megadó integrálást csak néhány esetben lehet egyszerű módszerekkel elvégezni. Az egyik szerencsés eset, ha a gyök alatti mennyiség valaminek a négyzete. Ekkor ugyanis elvégezhető a fő nehézséget okozó gyökvonás.

17. feladat. Tekintsük a c( t )=( tsin( t ),1cos( t ) ),t[ 0,2π ]  paraméterezésű görbét és számoljuk ki az ívhosszát.

Megoldás: Ebben a feladatban f ( t )=1cos( t ) , és g ( t )=sin( t ) . Így

s= a b ( f ( t ) ) 2 + ( g ( t ) ) 2 dt= 0 2π ( 1cos( t ) ) 2 + ( sin( t ) ) 2 dt=

= 0 2π 12cos( t )+ cos 2 ( t )+ sin 2 ( t ) =1 dt= 0 2π 22cos( t ) =4 sin 2 ( t 2 ) dt =

= 0 2π 4sin 2 ( t 2 ) dt = 0 2π | 2sin( t 2 ) >0( 0,2π )n | dt=2 0 2π sin( t 2 )dt=

=2 [ cos( t 2 ) 1 2 ] 0 2π =4 [ cos( t 2 ) ] 0 2π =4( ( 1 )( 1 ) )=8 .

Ellenőrző kérdések
1. A c( t )=( 2 t 2 ,3t4 ),t[ 0,2 ]  paraméteres alakban adott függvény esetén a paraméteres derivált
y = 3 4 t .
y = 4 3t .
y = 3 4t .
y = 4 3 t .
2. A c( t )=( 1 t 3t, t 3 ),t[ 2, 1 2 ]  paraméteres alakban adott függvény esetén a paraméteres derivált értéke t=1 -ben
y = 3 2 .
y = 1 2 .
y =2 .
y = 3 2 .
3. A c( t )=( sin( 2t ),cos( 3t ) ),t[ 0, π 2 ]  paraméterezésű görbe érintője t= π 6 -ban
y=3x+ 3 2 2 .
y=3x 3 3 2 .
y=3x+ 3 3 2 .
y=3x 3 2 2 .
4. A c( t )=( t 2 +t, t 3 3t ),t[ 0,3 ]  paraméterezésű görbe érintője a P( 6,2 )  pontban
y= 9x 5 46 5 .
y= 9x 5 44 5 .
y= 9x 5 + 44 5 .
y= 9x 5 + 46 5 .
5. A c( t )=( 3 t 2 2t, t 3 6t ),t[ 0,3 ]  paraméterezésű görbe m=3  meredekségű érintői
y=3x  és y=3x108 .
y=3x1  és y=3x108 .
y=3x  és y=3x+108 .
y=3x  és y=3x118 .
6. A c( t )=( tsin( t ),1cos( t ) ),t[ 0,2π ]  paraméterezésű görbét melyik pontjában vízszintes az érintője?
A t=π  paraméterértékhez tartozó P( π,2 )  pontban.
A t=π  paraméterértékhez tartozó P( π,1 )  pontban.
A t=0  paraméterértékhez tartozó P( 0,0 )  pontban.
A t=2π  paraméterértékhez tartozó P( 2π,0 )  pontban.
7. A c( t )=( t 3 6 t 2 +1, t 3 4t ),t[ 1,5 ]  paraméterezésű görbét melyik pontjában függőleges az érintője?
A P( 0,1 )  és a Q( 31,48 )  pontokban.
A P( 1,0 )  és a Q( 31,48 )  pontokban.
A P( 1,0 )  és a Q( 31,48 )  pontokban.
A P( 1,0 )  és a Q( 31,48 )  pontokban.
8. Mennyi a c( t )=( t 3 +2,2t ),t[ 0,1 ]  görbe ívhossza?
61 27 .
60 27 .
62 27 .
63 27 .
9. Mennyi a c( t )=( t 3 3 1, t 2 2 +1 ),t[ 0,1 ]  görbe ívhossza?
2 2 3 + 1 3 .
2 3 1 3 .
3 2 1 3 .
2 2 3 1 3 .
10. Mennyi a c( t )=( 3 t 2 1,2 t 2 2 ),t[ 1,2 ]  görbe ívhossza?
326 .
324 .
325 .
327 .