Száz ember testsúly (kilogramm) szerinti megoszlása:

Testsúly, kg	fi
4-5	14
5-6	48
6-7	76
7-8	60
8-10	36

Számítsuk ki:

Átlag,, módusz, medián,, szórás, relatív szórás,

Segédszámítások táblázata

					szóráshoz
Testsúly, kg	fi	xi	si=fi*xi	fi'	d=xi-xa	d^2	fi*d^2
40-50	5	45	225	5	-22,7	515,29	2576,45
50-60	18	55	990	23	-12,7	161,29	2903,22
60-70	42	65	2730	65	-2,7	7,29	306,18
70-80	27	75	2025	92	7,3	53,29	1438,83
80-120	8	100	800	100	32,3	1043,29	8346,32
összesen	100		6770				15571

Rövidítések: f_i gyakoriság, g_i relatív gyakoriság, s_i értékösszeg

A számtani átlag számításához meg kell határozni az osztályközepeket, vagyis az osztályközök alsó és felső határának számtani átlagait. Ezeket meg kell szorozni a gyakoriságokkal, így becsült értékösszegeket kapunk.

A szórás az átlagtól való átlagos eltérés, négyzetes átlaggal számítva.

x_a = Σs_i/n=Σf_i*x_i/n=6770/100=67,7 kg az átlagos testsúly

Módusz: Mo=x_mo+(d_a/(d_a+d_f))*h_mo=60+(24/(24+15))*10=66,15 kilogrammnál van a gyakorisági görbe csúcspontja

x_mo a modális (móduszt tartalmazó) osztályköz alsó határa=60

d_a modális osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége=42-18=24

d_f modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége=42-27=15

h_mo modális osztályköz terjedelme=70-60=10

Medián: sorszáma: s=n/2=100/2=50 Me=x_me+(n/2-f’_me-1)*h_me/f_me =60+(50-23)*10/42=66,43 kilogramm

A vizsgált 100 ember közül az emberek felének kisebb, másik felének nagyobb a testsúlya 66,43 kilogrammnál

x_me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa=60

h_me osztályköz terjedelme=70-60=10

f_me a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság=42

f’_me-1 a mediánt megelőző osztályközhöz tartozó kumulált gyakoriság=23

Szórás: kg. Átlagosan 12,48 kilogrammal térnek el a testsúlyok az átlagtól.

Relatív szórás: V= σ/x_a =12,48/67,7=18,4% átlagosan az átlag 18,4%-ával térnek el az ösztöndíjak az átlagtól

Egy szakirány hallgatóinak a kapott ösztöndíj szerinti megoszlása:

Ösztöndíj ezer Ft	fi
4-5	14
5-6	48
6-7	76
7-8	60
8-10	36

Számítsuk ki:

Átlag, módusz, medián, kvartilisek, terjedelem, (inter)kvartilis terjedelem, szórás, relatív szórás, jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját, ábrázoljuk a Lorenz görbét

Segédszámítások táblázata

					szóráshoz			Lorenz görbéhez
Ösztöndíj ezer Ft	fi	xi	si=fi*xi	fi'	d=xi-xa	d^2	fi*d^2	gi	zi	gi'	zi'
4-5	14	4,5	63	14	-2,30	5,29	74,1	6,0	3,9	6,0	3,9
5-6	48	5,5	264	62	-1,30	1,69	81,1	20,5	16,6	26,5	20,5
6-7	76	6,5	494	138	-0,30	0,09	6,8	32,5	31,0	59,0	51,4
7-8	60	7,5	450	198	0,70	0,49	29,4	25,6	28,2	84,6	79,6
8-10	36	9	324	234	2,20	4,84	174,2	15,4	20,3	100,0	100,0
összesen	234		1595				365,6	100,0	100,0

Rövidítések: f_i gyakoriság, g_i relatív gyakoriság, s_i értékösszeg z_i relatív értékösszeg x_i osztályközepek x_a számtani átlag

Számtani átlag: x_a = Σs_i/n=Σf_i*x_i/n=1595/234=6,816 ezer forint az egy hallgatóra jutó átlagos ösztöndíj

Módusz: Mo=x_mo+(d_a/(d_a+d_f))*h_mo=6+(76-48/(76-48+76-60))*1=6,636 ezer forintnál van a gyakorisági görbe csúcspontja

x_mo a modális (móduszt tartalmazó) osztályköz alsó határa=6

d_a modális osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége=76-48=28

d_f modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége=76-60=16

h_mo modális osztályköz terjedelme=7-6=1

Medián: sorszáma: s=n/2=234/2=117 Me=x_me+(n/2-f’_me-1)*h_me/f_me =6+(117-62)*1/76=6,724 ezer forint

Az ösztöndíjak fele kisebb, másik fele nagyobb 6724 forintnál.

x_me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa=6

h_me osztályköz terjedelme=7-6=1

f_me a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság=76

f’_me-1 a mediánt megelőző osztályközhöz tartozó kumulált gyakoriság=62

Alsó kvartilis: sorszáma: s=234/4=58,5 Q₁= x_i0+(n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =5+(58,5-14)*1/48=5,927

Az ösztöndíjak negyede kisebb, háromnegyede nagyobb 5927 forintnál.

Felső kvartilis: sorszáma: s=234*3/4=175,5 Q₃= x_i0+(3*n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =7+(175,5-138)*1/60=7,62542

Az ösztöndíjak háromnegyede kisebb, negyede nagyobb 7625 forintnál.

Terjedelem: T=x_max-x_min=10-4=6 ezer Ft

Interkvartilis terjedelem: IQT= Q₃-Q₁=7625-5927=1698 forint

Szórás: Átlagosan 1250 forinttal térnek el az ösztöndíjak az átlagtól.

Relatív szórás: V= σ/x_a =1250/6816=18,3% átlagosan az átlag 18,3%-ával térnek el az ösztöndíjak az átlagtól

Aszimmetria: A=(x_a – Mo)/σ=(6816-6636)/1234=0,146 (baloldali aszimmetria, mert pozitív)

F=((Q₃-Me)-(Me-Q₁))/((Q₃-Me)+(Me-Q₁)=((7625-6724)-(6724-5927))/((7625-6724)+(6724-5927))=0,061 (baloldali aszimmetria, mert pozitív)

Egy vállalkozás alkalmazottainak fizetés szerinti megoszlása:

Kereset, ezer Ft	fi
50-100	71
100-150	169
150-200	127
200-250	85
250-300	40
300-500	8

Számítsuk ki:

Átlag, módusz, medián, kvartilisek, terjedelem, (inter)kvartilis terjedelem, szórás, relatív szórás, jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját, ábrázoljuk a Lorenz görbét

Segédszámítások táblázata

								Szóráshoz			Lorenz görbéhez
Fizetés, ezer Ft	fi	xi		Si=fi*xi		fi'		d=xi-xa	d^2	fi*d^2	gi	zi	gi'	zi'
50-100	71	75	5325		71		89		7921	562391	14,2	6,5	14,2	6,5
100-150	169	125	21125		240		39		1521	257049	33,8	25,8	48,0	32,3
150-200	127	175	22225		367		-11		121	15367	25,4	27,1	73,4	59,4
200-250	85	225	19125		452		-61		3721	316285	17,0	23,3	90,4	82,7
250-300	40	275	11000		492		-111		12321	492840	8,0	13,4	98,4	96,1
300-500	8	400	3200		500		-236		55696	445568	1,6	3,9	100,0	100,0
	500		82000							2089500	100,0	100,0

Rövidítések: f_i gyakoriság, g_i relatív gyakoriság, s_i értékösszeg z_i relatív értékösszeg x_i osztályközepek x_a számtani átlag

Számtani átlag: x_a = Σs_i/n=Σf_i*x_i/n=82000/500=164 ezer forint az egy dolgozóra jutó átlagos fizetés

Módusz: Mo=x_mo+(d_a/(d_a+d_f))*h_mo=100+(169-71/(169-71+169-127))*50=135 ezer forintnál van a gyakorisági görbe csúcspontja

x_mo a modális (móduszt tartalmazó) osztályköz alsó határa=100

d_a modális osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége=169-71=98

d_f modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége=169-127=42

h_mo modális osztályköz terjedelme=150-100=50

Medián: sorszáma: s=n/2=500/2=250 Me=x_me+(n/2-f’_me-1)*h_me/f_me =150+(250-240)*50/127=153,9 ezer forint

A fizetések fele kisebb, másik fele nagyobb 153,9 ezer forintnál.

x_me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa=150

h_me osztályköz terjedelme=200-150=50

f_me a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság=127

f’_me-1 a mediánt megelőző osztályközhöz tartozó kumulált gyakoriság=240

Alsó kvartilis: sorszáma: s=500/4=125 Q₁= x_i0+(n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =100+(125-71)*50/169=116,0

A fizetések negyede kisebb, háromnegyede nagyobb 116,0 ezer forintnál.

Felső kvartilis: sorszáma: s=500*3/4=375 Q₃= x_i0+(3*n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =200+(375-367)*50/85=204,7

A fizetések háromnegyede kisebb, negyede nagyobb 204,7 ezer forintnál.

Terjedelem: T=x_max-x_min=500-50=450

Interkvartilis terjedelem: IQT= Q₃-Q₁=7625-5927=1698

Szórás: vagyis átlagosan 64,6 ezer forinttal térnek el a fizetések az átlagtól.

Relatív szórás: V= σ/x_a =64,6/164=39,4% átlagosan az átlag 39,4%-ával térnek el a fizetések az átlagtól.

Aszimmetria: A=(x_a – Mo)/σ=(164-135)/64,6=0,45 (baloldali aszimmetria, mert pozitív)

F=((Q₃-Me)-(Me-Q₁))/((Q₃-Me)+(Me-Q₁)=((204,7-153,9)-(153,9-116))/((204,7-153,9)+(153,9-116))=0,15 (baloldali aszimmetria, mert pozitív)

Egy vállalkozás alkalmazottainak fizetés szerinti megoszlása:

Kereset, ezer Ft	fi
45-55	150
55-65	450
65-75	650
75-85	600
85-95	250
95-115	80

Számítsuk ki:

Átlag, módusz, medián, kvartilisek, terjedelem, (inter)kvartilis terjedelem, szórás, relatív szórás, jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját, ábrázoljuk a Lorenz görbét

Segédszámítások táblázata

					szóráshoz			Lorenz görbéhez
	fi	xi	si=fi*xi	fi'	d=xi-xa	d^2	fi*d^2	gi	zi	gi'	zi'
45-55	150	50	7500	150	-23,07	532,38	7985,7	6,88	4,71	6,88	4,71
55-65	450	60	27000	600	-13,07	170,91	7691,1	20,64	16,95	27,52	21,66
65-75	650	70	45500	1250	-3,07	9,45	614,0	29,82	28,56	57,34	50,22
75-85	600	80	48000	1850	6,93	47,98	2878,7	27,52	30,13	84,86	80,35
85-95	250	90	22500	2100	16,93	286,51	7162,7	11,47	14,12	96,33	94,48
95-125	80	110	8800	2180	36,93	1363,57	10908,6	3,67	5,52	100,00	100,00
Összesen	2180		159300				37240,8	100	100

Rövidítések: f_i gyakoriság, g_i relatív gyakoriság, s_i értékösszeg z_i relatív értékösszeg x_i osztályközepek x_a számtani átlag

Számtani átlag: x_a = Σsi/fi=159300/218=73,1

Módusz: Mo=x_i0+(k₁/(k₁+k₂)) *h=65+(200/(200+50))*10=73

x_i0 a modális (móduszt tartalmazó) osztályköz alsó határa=65

k₁ modális osztályköz és azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége=650-450=200

k₂ modális osztályköz és azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége=650-600=50

h modális osztályköz terjedelme=75-65=10

A gyakorisági görbe csúcspontja 73 ezer forintnál van, ez a tipikus érték.

Medián: sorszáma: s=n/2=2180/2=1090 Me=x_i0+(n/2-f’_i-1)*h_i/f_i =65+(1090-600)*10/650=72,54

x_i0 a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa=65

h osztályköz terjedelme=75-65=10

f_i a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság=650

f’_i-1 a mediánt megelőző osztályközhöz tartozó kumulált gyakoriság=600

A fizetések fele kisebb, másik fele nagyobb 72,54 ezer forintnál.

Alsó kvartilis: sorszáma: s=2180/4=545 Q₁= x_i0+(n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =55+(545-150)*10/450=63,78

A fizetések negyede kisebb, háromnegyede nagyobb 63,78 ezer forintnál.

Felső kvartilis: sorszáma: s=2180*3/4=1635 Q₃= x_i0+(n/4-f’_i-1)*h_i/f_i =75+(1635-1250)*10/600=81,42

A fizetések háromnegyede kisebb, negyede nagyobb 81,42 ezer forintnál.

Terjedelem: T=x_max-x_min=115-45=70

Interkvartilis terjedelem: IQT= Q₃-Q₁=81,42-63,78=17,64

Szórás: vagyis átlagosan 13,07 ezer forinttal térnek el a fizetések az átlagtól.

Relatív szórás: V= σ/x_a =13,07/73,1=17,9% átlagosan az átlag 17,9%-ával térnek el a fizetések az átlagtól

Aszimmetria: A=(x_a – Mo)/σ=(73,1-73)/13,07=0,008 a sokaság majdnem szimmetrikus, enyhe baloldali aszimmetria

F=((Q₃-Me)-(Me-Q₁))/((Q₃-Me)+(Me-Q₁)=((81,42-72,54)-(72,54-63,78))/((81,42-72,54)-(72,54-63,78))=0,007 a sokaság majdnem szimmetrikus, enyhe baloldali aszimmetria

P=3(x_a – Me)/σ=3(73,1-72,54)/13,07=0,13 a sokaság majdnem szimmetrikus, enyhe baloldali aszimmetria

Egy megye feldolgozóipari vállalkozásainak árbevétel szerinti megoszlása:

Árbevétel, millió Ft	Vállalkozások száma
10–50	60
50–100	56
100–200	68
200–500	33
500–1000	34
1000–2000	27
2000–5000	15
5000–10000	7
összesen	300

Számítsuk ki:

Átlag, módusz, medián, szórás, relatív szórás

Árbevétel	fi	xi	si=fi*xi	Osztályköz terjedelme	100 milliós terjedelemre jutó gyakoriság	d=xi-xa	d^2	fi*d^2
10–50	60	30	1800	40	150	-630	396900	23814000
50–100	56	75	4200	50	112	-585	342225	19164600
100–200	68	150	10200	100	68	-510	260100	17686800
200–500	33	350	11550	300	10,7	-310	96100	3171300
500–1000	34	750	25500	500	6,8	90	8100	275400
1000–2000	27	1500	40500	1000	2,7	840	705600	19051200
2000–5000	15	3500	52500	3000	0,5	2840	8065600	120984000
5000–10000	7	7500	52500	5000	0,14	6840	46785600	327499200
összesen	300		198750					531646500

Számtani átlag: x_a = Σs_i/n=Σf_i*x_i/n=19875/300=662,5 millió forint az egy vállalkozásra jutó árbevétel

Módusz: Mo=x_mo+(d_a/(d_a+d_f))*h_mo=10+(150-0/(150-0+150-112))*40=41,9 millió forintnál van a gyakorisági görbe csúcspontja

x_mo a modális (móduszt tartalmazó) osztályköz alsó határa=10

a gyakoriság különbségeit egységosztályközre átszámítva kell számolni!

d_a modális osztályköz és az azt megelőző osztályköz gyakoriságának különbsége=150-0=150

d_f modális osztályköz és az azt követő osztályköz gyakoriságának különbsége=150-112=38

h_mo modális osztályköz terjedelme=50-10=40

Medián: sorszáma: s=n/2=300/2=150 Me=x_me+(n/2-f’_me-1)*h_me/f_me =100+(150-116)*100/68=150 millió forint

A vállalkozások felének kisebb, másik felének nagyobb az árbevétele 150 millió forintnál.

x_me a mediánt tartalmazó osztályköz alsó határa=100

h_me osztályköz terjedelme=200-100=100

f_me a mediánt tartalmazó osztályközhöz tartozó gyakoriság=68

f’_me-1 a mediánt megelőző osztályközhöz tartozó kumulált gyakoriság=116

Szórás: Átlagosan 1331 millió forinttal térnek el az egyes árbevételek az átlagtól.

Relatív szórás: V= σ/x_a =1331/662,5=200,9% átlagosan az átlag 200,9%-ával térnek el az árbevételek az átlagtól