1. Példa:

Egy mezőgazdasági vállalkozó árbevételére vonatkozó adatok a következők:

Termék megnevezése	Árbevétel megoszlása (%), 2003	Árváltozás (%) 2003-2004	Mennyiségi változás (%) 2003-2004
Burgonya	36	+23	-10
Répa	40	+15	+10
Saláta	24	+20	-18

A 2004 évi árbevétel 500 millió forint volt.

Feladatok:

A, Határozza meg a répára vonatkozó egyedi értékindexet (%)!

B, Határozza meg az értékindexet!

C, Határozza meg az árak átlagos változását (%) Laspeyres szemléletben!

D, Határozza meg az értékesített árumennyiség átlagos változását, a tanult index-összefüggést figyelembe véve! (Előjel is kell.)

E, Határozza meg az együttes változást pénzértékben is! (millió forint) (Előjel is kell.)

F, Határozza meg a vállalkozó árbevételét az első évre vonatkozóan!

G, Határozza meg az átlagos volumenváltozásból adódó bevételváltozást! (A korábban használt (Paasche) szemléletben)

H, Határozza meg az átlagos árváltozásból fakadó bevételváltozást! (A korábban használt (Laspeyres) szemléletben)

2. Három termék mennyiségi és egységár adatai

Termék	Mennyiség		Ár
	bázis	Tárgy	bázis	Tárgy
	Időszak		Időszak
1	10	15	6	7
2	5	4	20	30
3	10	12	5	10

Feladat: 1. Számítsuk ki az egyedi érték-, volumen- és árindexeket!

2. számítsunk a termékek összességére vonatkozóan értékindexet, ár- és volumenindexet!

3. Számítsuk ki, hogy az értékadat különbségéből mennyi volt a volumenváltozás, illetve az árváltozás hatása!

3. Egy vállalkozás értékesítésére vonatkozó adatok:

Termék	Értékesítés %-os megoszlása 2001-ben	A 2002. évi mennyiség az 2001 évi %-ában
A	40	120
B	20	105
C	10	110
D	30	95
összesen	100

Az értékesített termékek értéke 30%-al nőtt 2001-ről 2002-re.

Feladat: Számítsuk ki a Laspeyres volumenindexet és a Paasche árindexet.

4. Egy vállalat három terméket gyárt. Az együttes értékesítés 2001-ban 900 millió forint volt. A termékek egyedi árindexei és az 2002. évi értékesítés az alábbiak szerint alakult:

Termék	Egyedi árindex 2002/2001, %	2002. évi értékesítés, millió Ft
A	110	330
B	100	430
C	120	440

Számítsuk ki az értékindexet, a Paasche féle ár- és a Laspeyres féle volumenindexet!

5. Két ország, Szkítia és Baskíria fogyasztási és árszínvonalát hasonlítjuk össze. Az alábbi aggregátumoka ismerjük:

	Szkítia valutájában	Baskíria valutájában
Szkítia fogyasztása/fő	5000	90000
Baskíria fogyasztása/fő	2500	30000

Hasonlítsuk össze a két ország fogyasztási színvonalát mindkét súlyozással. Mi okozza az eltérő eredményeket? Számítsuk ki mindkét ország súlyait bázisként használva az árindexet! Számítsuk ki a Fisher árindexet!

6. Két ország egy lakosra jutó fogyasztásának mennyiségére és értékére vonatkozó adatokból számítsuk ki a fogyasztási színvonal eltérését és az árindexeket!

	Mennyiség		Érték
Termék	Bergengócia	Ruritánia	Bergengócia	Ruritánia
			tallér	Márka
A	10	15	200	7500
B	15	15	300	9000
C	25	26	1250	20800

Megoldás:

1.

A, 1,15*1,1=1,265, vagyis százalékban kifejezve 126,5

B, 36*1,23*0,9+40*1,15*1,1+24*1,2*0,82=114,068

Ezt a 100-hoz kell viszonyítani, így az értékindex 114,068

C, 36*1,23+40*1,15+24*1,24=119,08

Ezt a 100-hoz kell viszonyítani, így az árindex 119,08, az árak átlagos változása pedig +19,08

D, Az indexösszefüggés:

I_q^P=I_v/I_p^L=114,068/119,08=0,9579

A (Paasche) volumenindex tehát: 95,79, a volumen átlagos változása pedig -4,21

E, A 2004-es árbevétel 500 millió forint volt, a 2003-as árbevételt úgy kapjuk, hogy ezt elosztjuk az értékindexszel: 500/1,14068=438,335 millió forint.

(Azért 1,14068-al és nem 114,068-al osztottunk, mert a 114,068 százalékos forma volt.)

A változás: 500-438,335=+61,665 millió forint

F, Az előző kérdéshez már meghatároztuk: 438,335 millió forint

G, A fiktív értékösszeg: 438,335*1,1908=521,975 millió forint (ez eredeti, nem kerekített adatokkal számolt eredmény) vagy máshogyan kiszámolva: 500/0,9579=521,975

Ebből a volumenváltozás hatása: 500-521,975=-21,975 millió forint (megjegyzés: a K_q^P=Σq₁*p₁-Σq₀*p₁ összefüggés alapján)

H, A G részben leírtakból: 521,975-438,335=+83,64 millió forint az árváltozás hatása

2. Az egyedi indexek:

Termék	iq	ip	iv
1	1,5	1,167	1,75
2	0,8	1,5	1,2
3	1,2	2	2,4

Az együttes indexek:

Árindexek: Laspeyres: I_p^L=(10*7+5*30+10*10)/210=320/210=1,5238

Paasche: I_p^P=345/(15*6+4*20+12*5)=345/230=1,5

Fisher: I_p^F=gyök1,524*1,5=1,512

Volumenindexek: Laspeyres: I_q^L=230/210=1,095

Paasche: I_q^P=345/320=1,078

Fisher: I_q^F=gyök1,093*1,078=1,0865

Az indexek különbözőségét az egyedi indexek különbözősége okozza, máshogyan megfogalmazva az árarányok és a mennyiségi arányok eltérő volta a két évben.

A különbségek és összefüggések:

K_v=345-210=135

K_q^L=320-210=110 K_q^P=345-230=115

K_p^P=345-320=25 K_p^L=230-210=20

135=110+25 135=115+20

Az 135 egységnyi értéknövekedésből A 135 egységnyi értéknövekedésből

110 egység tulajdonítható a mennyiségek, 115 egység tulajdonítható a mennyiségek,

25 egység pedig az árak növekedésének. 20 egység pedig az árak növekedésének.

(Az eltérő eredményeket az eltérő súlyozás okozta.)

3. Az értékindex: I_v=1,25=125% (A 2002 évi értékesítés a 2001 évi értékesítésnek a 125%-a)

Laspeyres volumenindex: I_q^L =0,2*1,2+0,4*1,05+0,1*1,1+0,3*0,95=1,055 (vagy 105,5%) Az értékesített mennyiség 5,5%-al nőtt átlagosan, az 2002 évben értékesített mennyiség a 2001 évi mennyiség 105,5%-át teszi ki, bázisidőszaki ársúlyokat (Laspeyres-indexet) használva.

Paasche árindex: Az I_v=I_q^L*I_p^P összefüggés alapján: I_p^P=I_v/I_q^L=125/105,5=1,185 (vagy 118,5%) A termékek ára átlagosan 18,5%-al, az 1998 évi átlagárak 118,5%-ára nőttek, tárgyidőszaki volumensúlyokat (Paasche-indexet) használva.

A számítások táblázatos formában:

Termék	Értékesítés %-os megoszlása 2001-ben	A 2002. évi mennyiség az 2001 évi %-ában	A 2002 évi mennyiség 2001-es áron
	q0*p0/ Σq0*p0	q1/q0	q1*p0/ Σq0*p0
	a	b	a*b
A	40	120	24
B	20	105	42
C	10	110	11
D	30	95	28,5
Összesen	100	-	105,5

4. 1999 évi értékesítés: 330+430+440=1200

értékindex: I_v=1200/900=1,333

árindex: I_p^P=1200/(330/1,1+430/1+440/1,2) =1,094

volumenindex: I_q^L=I_v/I_p^P=1,333/1,094=1,2185

Az értékesítés árbevétele 33,3%-al növekedett. Ezt a termékek átlagárának 9,4%-os, mennyiségének 21,85%-os növekedése eredményezte.

5. A fogyasztási színvonalak:

Szkítia áraival: I_q^S(Szkítia/Baskíria)=5000/2500=2

Baskíria áraival: I_q^B(Szkítia/Baskíria)=90000/30000=3

Fisher-index:

Szkítia áraival számolva Szkítia fogyasztási színvonala kétszerese Baskíriának, Baskíria áraival számolva pedig háromszorosa. A különbségnek az az oka, hogy mindkét országban az adott országban relatíve olcsóbb termékből fogyasztanak többet. Ami Szkítiában Baskíriához képest drágább, abból Szkítiában viszonylag kevesebbet, Baskíriában többet fogyasztanak.

Az árindexek:

A Fisher féle árindex:

Értelmezésük: Egy szkítiai pénzegység 18 baskíriai pénzegységgel egyenértékű, ha az összehasonlítást a Szkítiára jellemző fogyasztási szerkezettel végezzük (vagyis egy szkítiai pénzegységen ugyanannyi árut lehet vásárolni, mint amennyit 18 baskíriai pénzegységen, feltéve, ha ezen árukat a Szkítiára jellemző fogyasztási súlyokkal szerepeltetjük az összehasonlításban). Egy szkítiai pénzegység 12 baskíriai pénzegységgel egyenértékű, ha az összehasonlítást a Baskíriára jellemző fogyasztási szerkezettel végezzük. A kettő egyfajta átlaga a Fisher indexszel kapott eredmény; egyik eredménynek sincs kitüntetett szerepe, az eltérések az összehasonlítás tárgyát képező jelenség alaptulajdonságaiból (szerkezeti és árarányeltérések) fakadnak.

8.

B=Bergengócia

R=Ruritánia

	Mennyiség		Érték		Ár
Termék	B	R	B	R
			tallér	Márka	pB	pR	qb*pR	qR*pB
A	10	15	200	7500	20	500	5000	300
B	15	15	300	9000	20	600	9000	300
C	25	26	1250	20800	50	800	20000	1300
Összesen	-	-	1750	37300	-	-	34000	1900

I_q^B(B/R)=1750/1900=0,921 Bergengócia fogyasztása Ruritánia fogyasztásának 92,1%-a

I_q^R(B/R)=34000/37300=0,911 Bergengócia fogyasztása Ruritánia fogyasztásának 91,1%-a

I_p^B(R/B)=34000/1750=19,4 márka/tallér

19,4 márka vásárlóereje megegyezik 1 tallér vásárlóerejével; 19,4 márkáért ugyanannyit lehet vásárolni, mint 1 tallérért.

I_p^R(R/B)=37300/1900=19,63 márka/tallér

19,63 márka vásárlóereje megegyezik 1 tallér vásárlóerejével; 19,4 márkáért ugyanannyit lehet vásárolni, mint 1 tallérért.

Az eltérő eredményeket az eltérő súlyozás eredményezte.