Középértékek

1. Béla négy egymást követő évben literenként 200, 230, 260 és 310 forintért vásárolt bort. Mennyi volt a bor átlagos költsége a négy év alatt?

A, Ha évente ugyanannyi mennyiségű bor vásárlását feltételezve

B, Ha évente ugyanakkora összegű bor vásárlását feltételezve

Megoldás: Első esetben évente az árral arányos összeget költött a borra, egyszerű számtani átlagot kell alkalmazni. Második esetben évente ugyanakkora összeget költött, egységnyi bor megvásárlásához az ár reciprokával arányos összeget kellett fordítania, harmonikus átlagot kell alkalmazni.

1. Átlagos költség=teljes költség/vásárolt mennyiség=(200+230+260+310)/4=250

2. Átlagos költség=teljes költség/vásárolt mennyiség=4/(1/200+1/230+1/260+1/310)=243,6

2. Az éves sörfogyasztás átlagos alakulása a férfiaknál és nőknél:

	Átlagos sörfogyasztás, liter	Összes sörfogyasztás %-a
Férfiak	67	70
Nők	25	30

Mennyi a férfiak és a nők együttes átlagos sörfogyasztása?

Megoldás: a férfiak és a nők relatív gyakoriságait (súlyukat) megkapjuk, ha a relatív értékösszegeket elosztjuk az átlaggal. A teljes relatív értékösszeget osztva a teljes gyakorisággal a teljes átlagot kapjuk. Az átlagos sörfogyasztás 44,55 liter. (A nők nagyobb súlya miatt az átlagos fogyasztás közelebb áll a nők fogyasztásához.)

	1 (=2/3)	2 (=1*3)	3=2/1
	Átlag (x_i)	Relatív értékösszeg (x_i*g_i)	Gyakoriság (x_i*g_i)/x_i
Férfiak	67	70	1,0448
Nők	25	30	1,2000
Összesen	44,55	100	2,2448

3. Botond A-ból B-be 45 km/óra, B-ből A-ba ugyanazon az útvonalon 90 km/óra átlagsebességgel halad. Mekkora volt az átlagsebessége Botondnak az egész útra vonatkozóan?

Megoldás: Tegyük fel, hogy A és B távolsága 90 km. Ekkor A-ból B-be 90 km/45 km/óra=2óra, B-ből A-ba 90 km/90 km/óra= 1 óra alatt teszi meg az utat Botond. Oda-vissza út átlagsebessége: teljes távolság/teljes idő= 180 km/3 óra= 60 km/óra. Átlagsebessége tehát 60 km/óra.

4. Egy vállalkozás árbevételének változása három év alatt: 26%, 3% és 5%. Mekkora a három év átlagos változása?

Megoldás: a százalékos változások kifejezhetők úgy is, hogy évről évre az előző évi árbevétel 1,26, 1,03 és 1,05-szorosára növekedett az árbevétel. Geometriai átlagot kell alkalmazni: 1,26*1,03*1,05 köbgyökét venni. Ez 1,1087, vagyis az árbevétel átlagos változása 10,87% (10,9%).

5. Egy bankban a várakozási idő az egyes ügyintézési típusok szerint a következőképpen alakult:

Ügylet típusa	Átlagos várakozási idő	Az összes várakozási idő
Lakáshitel	20	4000
Értékpapír	15	3000
Folyószámla	10	3000

Mennyi az átlagos várakozási idő?

Megoldás: mint a 2. példánál.

Ügylet típusa	1 (=2/3)	2 (=1*3)	3=2/1
	x_i	x_i*f_i	Gyakoriság (f_i=(x_i*f_i)/x_i)
Lakáshitel	20	4000	200
Értékpapír	15	3000	200
Folyószámla	10	3000	300
Együtt	14,29	10000	700

Az átlagos várakozási idő 14,3 perc.

6. Egy videokazetta kölcsönzőben egy héten át feljegyezték, hogy egy ember egyszerre hány kazettát kölcsönzött:

A kölcsönzött kazetták száma	Kölcsönzők száma
1	145
2	79
3	46
4	12
5	2

Mekkora a számtani átlag és a módusz?

Megoldás:

Számtani átlag:

A kölcsönzött kazetták száma (x_i)	Kölcsönzők száma (f_i)	Kölcsönzött videokazetták száma (s_i=f_i*x_i)
1	145	145
2	79	158
3	46	138
4	12	48
5	2	10
összesen	284	499

Átlag: 499/284=1,76, vagyis az átlagos kazettaszám 1,76.

Módusz: 1; A leggyakrabban 1 kazettát kölcsönöznek.

7. Egy ember egy héten keresztül feljegyezte, hogy naponta hány percet tölt tévénézéssel. Az eredmények a napok sorrendjében: 14, 40, 22, 120, 30, 55, 45. Mekkora a medián?

Megoldás: Sorrendbe helyezve a számokat: 14, 22, 30, 40, 45, 55, 120; ezek közül a középső, a negyedik elem 40, ennyi a medián nagysága.