1. Egy kisvárosban a vendéglátóipari egységek árbevétele (millió forintban) egy hónapban a vendéglőtípusok szerint a következő módon alakult:

 

Hét étterem: 5, 8, 13, 16, 23, 28, 33

Öt borozó: 2, 2, 3, 4, 4

Négy cukrászda: 3, 3, 6, 8

 

Elemezze az árbevétel és a vendéglőtípus közötti kapcsolatot a szórásnégyzet hányadossal!

 

2. Egy budapesti vállalkozás dolgozóinak átlagos utazási ideje lakóhely szerint:

 

 

Fő

Átlagos utazási idő

Csoporton belüli szórás

Budapest

400

30

10

Vidék

100

70

20

 

Mennyi az átlagos utazási idő, a teljes szórás, a külső szórás, a lakóhely és az utazási idő közötti kapcsolat?

 

3. Vállalkozások árbevételére vonatkozó adatok a vállalkozás jogi formája szerint:

 

Jogi forma

Vállalkozások száma

Átlagos árbevétel, millió Ft

Betéti társaság           

280

10

KFT

200

60

RT

20

700

 

Az árbevétel teljes szórása 148 millió Ft

 

Feladat: A vállalkozások átlagos árbevételének kiszámítása és a jogi forma és az árbevétel közötti kapcsolat vizsgálata (szöveges elemzése is) a megfelelő mutató segítségével.

 

4. Az adatok ismeretében milyen kapcsolat mutatható ki a dohányzás és az átlagéletkor között?

 

 

Fő

Átlagéletkor

Nem dohányzók

300

80

dohányzók

200

70

 

Az egyedi élettartamok szórása 8 év.

 

5. Egy vállalkozásnál a szellemi munkakörben foglalkoztatottak száma 32, havi átlagfizetésük 315 ezer forint, a fizetések szórása 60 ezer forint. A fizikai munkakörben foglalkoztatottak száma 168, havi átlagfizetésük 185 ezer forint, a fizetések szórása 30 ezer forint. Jellemezzük a munkakör és a fizetés közötti kapcsolatot a szórásnégyzet-hányadossal!

 

6. Egy megyében egy felmérés során vizsgálták a lakosság egy főre jutó húsvásárlásra fordított kiadását.

 

Település típusa

Egy főre jutó kiadás

Szórása (ezer Ft)

Relatív szórása (%)

Város

3

50

Község

2

50

 

A lakosság 60%-a lakik városban.

 

Jellemezzük a településtípus és a húsvásárlásra fordított kiadás közötti kapcsolatot a szórásnégyzet-hányadossal!

 

7. Egy sportklubban feljegyezték a két szakosztály sportolóinak edzésre fordított idejét. A súlyemelők havonta átlagosan 80 órát edzenek, az ökölvívók pedig 50 órát. A sportolók egynegyede súlyemelő. Az edzésidők teljes szórása 20 óra. Jellemezze a szakosztály és az edzésidő közötti kapcsolatot a szórásnégyzet-hányadossal!

 

 

Megoldások:

 

1. Az eredeti adatokból számolva:

vendéglőtípus

Vendéglők száma

Összes árbevétel

Átlagos árbevétel, millió Ft

Külső szóráshoz

k

k2

ni*ki

Étterem

7

126

18

7,94

63,04

441,31

Borozó

5

15

3

-7,06

49,84

249,22

Cukrászda

4

20

5

-5,06

25,60

102,41

Összesen

16

166

10,06

 

 

792,94

 

Szórásnégyzetek alapján:

Külső szórás négyzete: σk2=792,94/16=49,56

Teljes szórás négyzete: σ2=1462,94/16=91,43

H2=49,56/91,43=0,542=54,2%  a vendéglő típusa az árbevétel szórásnégyzetének 54,2%-át magyarázza meg. A maradék 45,8%-nyi szórás a belső (vendéglőtípusokon belüli) eltéréseknek köszönhető.

 

Eltérésnégyzetösszegek alapján:

SSK=792,94

SST=1462,94

H2=792,94/1462,94=0,542=54,2% 

 

A belső eltérésnégyzetet és szórást nem volt szükséges kiszámítani a σ2=σk2+ σb2  (és az SST=SSB+SSK) összefüggés miatt.

Ellenőrzésként kiszámolhatjuk:

 

Vendéglőtípus

Vendéglők száma

SSB

σb2

Étterem

7

648

92,57

 

Borozó

5

4

0,8

 

Cukrászda

4

18

4,5

 

Összesen

16

670

41,88

 

 

Külső szórásnégyzet: SSK/n=792,94/16=49,56

Teljes szórás négyzete: σ2=1462,94/16=91,43

H2=49,56/91,43=0,542=54,2%

 

 

2. Átlagos utazási idő: a részátlagok súlyozott átlaga: (400*30+100*70)/500=38 perc.

Teljes szórás: a külső szórás négyzete és a belső szórás négyzete összegének a gyöke:  

 

 

xj

nj

Csoporton belüli szórás (σj)

nj*xj

σj2

nj*σj2

Budapest

30

400

10

12000

100

40000

Bejáró

70

100

20

7000

400

40000

Összesen

38

500

 

19000

 

80000

 

Belső szórásnégyzet (a részsokaságokon belüli szórásnégyzetek súlyozott átlaga):

belső szórás: σb=12,65

 

külső szórásnégyzet (a részátlagok és a főátlag súlyozott átlagos eltérésnégyzete):

 

Belső eltérésnégyzetösszeg (SSB): 80000

Külső eltérésnégyzetösszeg (SSK): (30-38)2*400+(70-38)2*100=128000

Teljes eltérésnégyzetösszeg (SST): 80000+128000=208000

 

H2= σk2/σ2=SSK/SST=160/416=128000/208000=0,615=61,5%  A lakóhely eltérése (budapesti vagy bejáró) 61,5%-át magyarázza meg az utazási idő szórásnégyzetének. A két jellemző között közepesnél erősebb kapcsolat mutatható ki.

H=0,78

 

3.

 

 

 

 

 

Külső szóráshoz

Jogi forma

Vállalkozások száma

nj

Átlagos árbevétel, millió Ft

xj

Összes árbevétel, ni*xj

kj

kj2

ni*ki

Betéti társaság           

280

10

2800

-47,6

2266

634480

KFT

200

60

12000

2,4

5,76

1152

RT

20

700

14000

642,4

412678

8253560

összesen

500

57,6

28800

 

 

8889192

 

Külső szórás négyzete: σk2=8889192/500=17778

Teljes szórás négyzete: σ2=1482=21904

H2=17778/21904=0,81=81%  szoros kapcsolat, a vállalkozások jogi formájának eltérése a szórásnégyzet 81%-át magyarázza meg.

 

 

 

4. A kapcsolat erősségének jellemzéséhez ki kell számítani a külső szórásnégyzetet. A csoport átlagéletkora: (300*80+200*70)/500=76 év.

A külső szórásnégyzet (a részátlagok eltérése a főátlagtól):

 

 

H2=24/64=0,375  A dohányzás 37,5%-ban magyarázza meg az életkorok átlagtól való eltérését. A fennmaradó 62,5%-ot az egyéb okok magyaráznak. A dohányzás és az életkor közötti közepes erősségű a kapcsolat.

 

 

5.

Munkakör

nj

xj

nj*xj

k

k2

n*k2

σj

σj2

nj*σj2

Szellemi

32

315

10080

109,2

11924,64

381588,5

60

3600

115200

Fizikai

168

185

31080

-20,8

432,64

72683,52

30

900

151200

Együtt

200

205,8

41160

 

 

454272

 

 

266400

 

Átlagos fizetés: (32*315+168*185)/200=205,8

Belső eltérésnégyzetösszeg (SSB): 32*602+168*302=266400

Külső eltérésnégyzetösszeg (SSK): 32*(315-205,8)2*168*(185-205,8)2=454272

Teljes eltérésnégyzetösszeg (SST): SST=SSB+SSK=266400+454272=720672

 

H2= SSK/SST=454272/720672=0,630=63,0%  A munkakör 63%-át magyarázza meg a fizetések szórásnégyzetének. A két jellemző között közepesnél erősebb kapcsolat mutatható ki.

 

6.

A részátlagok: város: 3/0,5=6; község: 2/0,5=4

A főátlag: 0,6*6+0,4*4=5,2

 

 

Településtípus

gj

k

k2

g*k2

σj

σj2

gj*σj2

Város

0,6

6

0,8

0,64

0.384

3

9

5,4

Község

0,4

4

-1,2

1,44

0,576

2

4

1,6

Együtt

1

5,2

 

 

0,96

 

 

7

 

 

 

 

A településtípus szerinti eltérés a húsvásárlásra fordított kiadás szórásnégyzetének a 12%-át magyarázza meg. (A két ismérv közötti kapcsolat gyenge.)

 

 

7.

A főátlag: 0,25*80+0,75*50=57,5

 

 

Szakosztály

gj

k

k2

g*k2

Súlyemelés

0,25

80

22,5

506,25

126,5625

Ökölvívás

0,75

50

-7,5

56,25

42,1875

Együtt

1

57,5

 

 

168,75

 

 

 

 

A szakosztályok szerinti eltérés a szórásnégyzet 42,2%-át magyarázza.