Szigorlati feladatlap Matematikából villamosmérnök hallgatóknak
2000. május 25.
 
 
 
 
 
 

1. Tekintsük az alábbi komplex számokat:
$$u=2-2j \qquad v=2(\cos30^\circ+j\sin30^\circ).$$


Add meg azokat a $z$ és $w$ komplex számokat trigonometrikus alakban és ábrázold a Gauss-féle komplex számsíkon, amelyekre

$$w=\left( \frac{v}{u} \right)^{10},\qquad z^3=u.$$


${ }_{}$(10 pont)

2. Egy Descartes-féle koordinátarendszerben adott az $A(1,3,0)$,$B(-3,2,1)$, $C(-3,0,-2)$ és $D(-2,1,2)$ pont.
1. Igazold, hogy $A,B,C,D$ tetraédert határoz meg és számítsd ki a térfogatát!
2. Bontsd fel a $\overrightarrow {BD}$ vektort egy $\overrightarrow {CA}$ irányú és egy $\overrightarrow {CA}$-ra merőleges vektor összegére! (7 pont)
1. Írd fel annak az $f$ függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely a $\sin$ függvényből nyerhető, periodikus és egy periódusa az ábrán látható:

2. Írd fel az (a) pontban kapott függvény egy leszűkítésének inverzét! (10 pont)
1. Rajzold fel az $f(x)=x^3+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12x}$ képlettel adott függvény grafikonját a $[0.1, 1]$ intervallumon!
2. Számítsd ki azon test palástjának területét, amelyet az $y=x^3+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 12x}$, $0.1\le x\le 1$ alakban megadott görbe $x$ tengely körüli$360^\circ$-os megforgatásával kapunk! (17 pont)
3. Számítsd ki az $\underline F(x,y)=\left( xy, \cos x \right)$ vektormező $\gamma$ görbe menti vonalintegrálját, $\int\limits_\gamma \underline F\cdot d\underline r$-et, ahol $\gamma$ a $\sin$ függvény grafikonjának $[0,\pi]$ fölötti íve (az origóból indulva)! (12 pont)
1. Van-e az $f(x,y)=x^2\,y^4$ képlettel adott $f$ függvénynek lokális szélsőértéke a$(0,3)$ pontban?
2. Írd fel $f$ grafikonjához annak $(x_0,y_0)=(-1,2)$ értékekhez tartozó pontjában az érintősík egyenletét, majd ennek segítségével adjál lineáris közelítést $f(x,y)$-ra $(-1,2)$ közelében! (14 pont)
4. Számítsd ki az $A=\pmatrix{1 & 1 \cr -2& 4}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! Az eredményedet ellenőrizd a definíciónak megfelelően! (10 pont)