Zárthelyi dolgozat Matematika I. tárgyból villamos üzemmérnök hallgatóknak, 1999. október 14.

1. Tekintsük az alábbi logikai függvényeket:
   
   $$k_1=p\rightarrow (q\vee r),\qquad k_2=(\overline {q}\rightarr... ...p=q=r$ vagy ($p=1$ és $q\neq \overline r$) \cr 0&különben.\cr}$$
   
   
   1. Azonosan egyenlõ-e $k_1$ és $k_2$?
   2. Írd fel $k_3$ teljes konjunktiv normál alakját!
   3. Milyen kifejezéssel egyenlõ $k_1 \wedge k_2$, ha $r=1$? (11 pont)
2. Egy háromtagú bizottságban az elnöknek vétójoga van. Az elnöki vétótól eltekintve az egyszerû többség dönt. Add meg az ehhez a döntési eéjáráshoz illeszkedõ logikai függvényt! (4 pont)
3. Adott az $A,B,C,D$ halmaz.
   1. Igaz-e biztosan, hogy $(A\setminus B)\times (C\setminus D)=(A\times C)\setminus(B\times D)$?
   2. Hozd egyszerûbb alakra azonos átalakításokal az alábbi $H$ halmazt:
      
      $$H=\left( A\cup(\overline B\cap C)\right) \cup \left( (A\cup\overline B)\setminus(A\cup C)\right) !$$
      
      
      (10 pont)
4. Tekintsük az alábbi komplex számokat: $z=4(\cos240^\circ+j\sin240^\circ)$, $w=-3-4j.$

   Számítsd ki az alábbi mûveletek eredményét! (Ahol az eredmény nem valós komplex szám, ott az eredményt algebrai alakban add meg!) (10 pont)
   

   $$\sqrt[\displaystyle 4]{j\,\overline {z}},\qquad \arg{\frac{z^4 (\overline {w}-j) }{6\overline {z}}}.$$
   
   

5. Add meg azon $z$ komplex számok algebrai alakját, amelyek konjugáltjának reciproka egyenlõ köbük 16-odával! (5 pont)
6. Egy Descartes-féle koordinátarendszerben adott az $A(2,4,3)$, a $B(4,3,-1)$, $C(2,1,2)$ és a $D(3,0,3)$ pont.
   1. Igazold, hogy $B,C,D$ háromszöget határoz meg és számítsd ki ennek a háromszögnek a területét!
   2. Mekkora a $BCD$ háromszög $C$-nél lévõ szöge?
   3. Bontsd fel az $\overrightarrow {AC}$ vektort egy $\overrightarrow {AB}$ irányú és egy $\overrightarrow {AB}$-re merõleges vektor összegére! (10 pont)