> restart;
# 1. feladat
> f:=10*sin(x^2)/(x^2-4)-1;
> g:=cot(sqrt(1-exp(-x)));

                                      2
                                 sin(x )
                         f := 10 ------- - 1
                                  2
                                 x  - 4


                     g := cot(sqrt(1 - exp(-x)))

# a)
> plot(f, x=0..5, -10..10, discont=true);

# b)   A fenti ábráról látszik, hogy f-nek gyöke van  1.8, 2.5, 3.0
# körül és esetleg 3.7, valamint 4.5 körül.
# Az egyes helyek közelében  a pontosabb grafikonok:
> plot(f, x=1.7..1.9, discont=true);

# Gyök:  kb. 1.79.
> 
> plot(f, x=2.5..2.6, discont=true);

# Gyök:  kb. 2.56.
> 
> plot(f, x=2.9..3.1, discont=true);

# Gyök: kb. 2.98.
> 
> plot(f, x=3.7..3.8, discont=true);

# Látszik, hogy nincs gyök 3.7 körül.
> 
> plot(f, x=4.4..4.6, discont=true);

# Látszik, hogy itt sincs gyök.
> 
# Tehát f-nek 3db gyöke van, ezek kb. 1.79, 2.56, 2.98.
# Megjegyzés. Ennél kevésbé kidolgozott megoldást is elfogadtam
# teljesnek.
> 
# c) A gyökök pontosan:
> fsolve(f, x, 2.4..2.7);

                             2.557342144

> fsolve(f, x, 2.7..3.1);

                             2.985193802

# Megj. Annak ellenrzése, hogy tényleg nincs gyök  3.7 és 4.5 körül:
> fsolve(f, x, 3.5..3.9);

                               2
                          sin(x )
                fsolve(10 ------- - 1, x, 3.5 .. 3.9)
                           2
                          x  - 4

> fsolve(f, x, 4.3..4.7);

                               2
                          sin(x )
                fsolve(10 ------- - 1, x, 4.3 .. 4.7)
                           2
                          x  - 4

# d)
> plot(f, x=4..5);

# Min. hely: 4.15,  min. érték:  -1.76  (ábráról).
> 
# e)
> plot([f,g], x=0..5, -10..10, discont=true, color=[red,green]);

# f)  A fenti ábráról látszik: 3db megoldás van.
# Megj. Ha nem írjuk be a parancsba a discont=true opciót, akkor úgy
# nézne ki, mintha 4db megoldás lenne. Persze a fenti, 
# bemutatott megoldás a jó.
> 
# 2. feladat
# a)
> solve(4*x^2+(b-3)*x-3*b=0, x);

                            2
  - 1/8 b + 3/8 + 1/8 sqrt(b  + 42 b + 9),

                                  2
        - 1/8 b + 3/8 - 1/8 sqrt(b  + 42 b + 9)

# Két gyök van: x=-1/8*b+3/8+1/8*sqrt(b^2+42*b+9)     és  
# x=-1/8*b+3/8-1/8*sqrt(b^2+42*b+9).
> 
# b)
> evalf(Pi^2, 94);

  9.86960440108935861883449099987615113531369940724079062641334937\
        6220044822419205243001773403718

# Látszik: 8-as az utolsó jegy.
>