Gyakorló feladatlap Matematikából villamosmérnök hallgatóknak
2001. április 6.

1. Számítsd ki az alábbi integrálokat! (15 pont)
   
   $$\int\limits_1^3 \sqrt{4x-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{x^4+1}{x^3+9x}\,dx$$
   
   

2. Számítsd ki annak testnek a térfogatát, amelyet az $y=x\,\sqrt[\displaystyle 5]{1+2x^3}$, $x\in[2,3]$ alakban megadott görbe $x$ tengely körüli $360^\circ$-os megforgatásával kapunk! (8 pont)
3. Legyen $f$ az $f(x,y)=1-x^2+y^3$ képlettel megadott függvény. Ábrázold az $\underline F(x,y)=\mathrm{grad} f\,(x,y)$ vektormezőt és ez alapján döntsd el, hogy van-e $f$-nek lokális szélsőértéke a $(0,0)$ pontban! (6 pont)
4. Legyen $f$ az $f(x,y)={x}^{2}+xy+{y}^{2}-4\,\ln (x)-10\,\ln (y)$ képlettel adott függvény.
   1. Van-e $f$-nek lokális szélsőértéke a $(-1,-2)$, illetve $(-1,-3)$ pontban?
   2. $f$ grafikonjának $(1,1)$-hez tartozó pontjából milyen irányban induljunk el akkor, ha azt szeretnénk, hogy a felület emelkedése a legnagyobb legyen? Hány fokos szögű ez a legnagyobb emelkedés? (14 pont)

Végeredmények

1. $$\sqrt {3}+2/3\,\pi$$, illetve $$1/2\,{x}^{2}+1/9\,\ln (x)-{\frac {41}{9}}\,\ln ({x}^{2}+9)$$
2. $${\frac {275}{42}}\,{55}^{2/5}-{\frac {85}{42}}\,{17}^{2/5}\approx26.24$$
3. Nincs, mert ugyan a gradiens-vektor $(0,0)$-ban a nullvektor, de van ide ,,befelé'' és van innen ,,kifelé'' mutató gradiends-vektor is (pl. az $y$-tengely mentén). Ezek miatt $(0,0)$ nyeregpont.
   [height=5cm,angle=-90]p77.eps
4. $$\mathrm{grad}f(-1,-2)=(0,0)$$, $$\mathrm{grad}f(-1,-3)\ne(0,0)$$, így legfeljebb $(-1,-2)$-ben lehet a két pont közül. Ennek vizsgálata: $D=26>0$, $f''_{xx}(-1,-2)=6>0$, így $(-1,-2)$ lokális minimumhely.