Gyakorló feladatlap a ,,Halmazok, logikai kifejezések'' témakörbõl
1999. szeptember 20.

1. Készítsd el az alábbi logikai kifejezések igazságtáblázatát, majd írd fel teljes konjunktív és teljes diszjunktív normál alakjukat! (Ha érdemes, akkor elõször egyszerûsítsd a kifejezéseket!)
   
   $$k_1=(\overline p\vee q)\wedge (p\rightarrow \overline r) \qqu... ...ine {p\wedge \overline q}) \qquad k_4 = k_1 \leftrightarrow k_3$$
   
   
   Mutass olyan példát $p,q,r$ lehetséges értékeire, amelyekre $k_1=k_3$ és olyat is, amikor $k_1\neq k_3$!
2. Fejezd ki csak a ,,nem-és''-mûvelet (NAND-mûvelet) felhasználásával az implikáció és az ekvivalencia, azaz a $\rightarrow$ és $\leftrightarrow$ mûveleteket!
3. Egy C nyelven megírt program az alábbi részletet tartalmazza:

   
   while ( ((i>0) and (j>3)) or (not(i>1)) )
       {   
           . . . 
       }
   

   Hozd egyszerûbb alakra a ciklusfeltételt!
4. Igazold, hogy $(p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p) = p\leftrightarrow q$!
5. Igaz-e, hogy $p\rightarrow (q\rightarrow r) = (p\rightarrow q)\rightarrow r$? (Ha igaz, bizonyítsd be, ha nem, akkor adjál ellenpéldát!)
6. Határozd meg azokat a $p,r,s$ értékeket, amikor a
   
   $$k=\left(q\rightarrow ((\overline p\vee r)\wedge \overline s)\... ...e \left( \overline s \rightarrow (\overline r\wedge q) \right)$$
   
   
   kifejezés 1-et vesz fel a $q=1$ választás mellett!
7. Egy készülékbe három vezeték megy be és egy jön ki. A $p,q,r$ és $k$ logikai változók igazak, ha a három bemenõ illetve a kimenõ vezetéken folyik áram. Fejezd ki $k$-t $p,q,r$-rel, ha a kimenõ vezetéken pontosan akkor folyik áram, amikor
   1. páros számú;
   2. pontosan egy;
   3. legalább egy
   bemenõ vezetéken folyik áram! Egyszerûsítsd a $k$ kifejezéseket, amennyire lehet és mutasd meg egy lehetséges áramköri megvalósításukat!
8. Tekintsük az alábbi $k$ kifejezést:
   
   $$k=(p\wedge q) \vee (q\wedge r ) \vee (r\wedge s) \vee (s\wedge p).$$
   
   
   1. Teljesül-e, hogy $k$ pontosan akkor igaz, ha változói ($p,q,r,s$) közül legalább kettõ igaz?
   2. Hozd egyszerûbb alakra kiemelésekkel $k$-t, majd ez alapján fogalmazd meg szavakkal ,,$k$ mûködését''!
9. Milyen $A,B,C$ halmazokra és $\Omega$ alaphalmazra igaz, hogy
   
   $$(A\cup \overline{B})\setminus (B\cup C)=A\cup(\overline{B}\setminus C)\,?$$
   
   
   Adjál meg konkrétan (elemeikkel) olyan nemüres halmazokat, amelyekre a fenti egyenlõség teljesül és egy másik példát, amikor nem!
10. Egyszerûsítsd az alábbi halmazokat!
    
    $$A\cap(B\setminus A),\qquad (A\cap B)\cup(A\cap B\cap \overlin... ...\overline A\cup(A\cap \overline B)\cup(A\cap B\cap\overline C).$$
    
    

11. Vizsgáld meg annak feltételét, hogy az $A,B,C,D$ halmazokra $(A \times B)\cup(C \times D) = (A\cup C)\times (B\cup D)$ tejesüljön! Mutass ezután konkrét példát az egyenlõségre és a nemegyenlõségre is!
12. Igaz-e, hogy ha $A$ és $B$ végtelen halmazok, akkor $A\setminus B$ véges?

Horváth Zoltán