Gyakorló feladatok az ,,Integrálszámítás és alkalmazásai'' témakörből
2000. május 8.

1. Számítsd ki az alábbi határozott integrálokat!
   1. $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 5\pi}$| sin(2x)| dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 18}$| sin(2x)| dx,        $\int\limits_{\displaystyle -1}^{\displaystyle 1}$${\frac{\displaystyle \vert x\vert}{\displaystyle x+2}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \sqrt{3}/2}$arcsinx dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \sqrt{3}/2}$arccosx dx,        

      $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 1}$arctgx dx,        $\int\limits_{\displaystyle -1/2}^{\displaystyle 1/2}$arcsinx dx,        $\int\limits_{\displaystyle -1/2}^{\displaystyle 1/4}$arcsinx dx,        $\int\limits_{\displaystyle 4}^{\displaystyle 8}$arctgx dx,        

   2. $\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle 4}$$\sqrt{x}$ln x dx,        $\int\limits_{\displaystyle 2}^{\displaystyle 3}$${\frac{\displaystyle 7x-3}{\displaystyle x^2+4x+8}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 2}^{\displaystyle 3}$${\frac{\displaystyle 7x-3}{\displaystyle x^2+4x+4}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}$${\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle \sqrt{x^2+1}}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}$${\frac{\displaystyle x}{\displaystyle (3x+2)^{10}}}$ dx,        
2. Számítsd ki az alábbi improprius integrálokat! Rajzolj a feladathoz ábrát is! (Utóbbihoz esetleg szükség lehet függvényvizsgálatra is.)

   $\int\limits_{\displaystyle -\infty}^{\displaystyle 1}$e^2x dx,        $\int\limits_{\displaystyle 3}^{\displaystyle \infty}$e^2x dx,        $\int\limits_{\displaystyle 2}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2+9}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 2}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x^2+9}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 3}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2x+1}}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle -0.5}^{\displaystyle 1}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{2x+1}}}$ dx,        

   $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 1}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{x(2+x)}}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 1}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{x(1-x)}}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 1}$ln x dx,        $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 1}$xln x dx,        $\int\limits_{\displaystyle e}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x(\ln x)^2}}$ dx,        $\int\limits_{\displaystyle 5}^{\displaystyle \infty}$xe ^{- x} dx,        

   $\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \infty}$e^-2xcos x dx,        $\int\limits_{\displaystyle -\infty}^{\displaystyle \infty}$x e^-x2 dx,        

3. Az xy = x³ + 3

4. Határozd meg az a számot úgy, hogy az alábbi integrálok végesek legyenek!

   (a)     $\int\limits_{\displaystyle a}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2}}$ dx,         (b)     $\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^a}}$ dx,         (c)     $\int\limits_{\displaystyle a}^{\displaystyle 1}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x^2}}$ dx,         (d)     $\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle \infty}$${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle (x+a)^2}}$ dx,        

5. Számítsd ki az alábbi görbék ívhosszúságát, valamint azon testek térfogatát és palástjának területét, amelyeket ezen görbék x tengely körüli 360^o-os megforgatásával kapunk!

   (a)    y = x^2/3, 1$\le$x$\le$8,          (b)     y = x³ + ${\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12x}}$, 1$\le$x$\le$2,          (c)    y³ = x², -2$\le$x$\le$2,          (d)     y = 2lnx - x², 1$\le$x$\le$e

6. Egy 10 sugarú gömböt két párhuzamos síkkal elmetszünk. Igazold, hogy a két sík közötti gömbfelület értéke nem függ a síkok elhelyezkedésétől, csak a távolságuktól!
7. Milyen a kitevő esetén lesz az y = x^a, 0 < x$\le$1 görbe x-tengely körüli teljes megforgatásával keletkező testnek a térfogata, illetve a palást területe véges?
8. Legyen f (x) = $\int\limits_{1}^{x}$${\frac{\displaystyle \cos t}{\displaystyle t^2+1}}$dt. Számítsd ki f első és második deriváltjának értékét az x = 2 pontban!

Horváth Zoltán