Gyakorló feladatlap a ,,Komplex számok'' témakörbõl
1999. október 6.

1. Ábrázold a komplex számsíkon azokat a halmazokat, amelyeket az alábbi feltételnek megfelelõ $z$ komplex számok alkotnak:
   
   $$(\mathrm{a})\quad \mathrm{Re}z \le 0,\qquad (\mathrm{b})\qu... ...quad (\mathrm{e})\quad \left\vert\frac{2}{z}\right\vert \le 4,$$
   
   
   
   
   $$(\mathrm{f})\quad \arg(z)=\frac\pi3,\qquad (\mathrm{g})\quad... ...vert z\vert\le 3 \mbox{ és } \frac{\pi}{2}\le\arg(z) \le \pi .$$
   
   

2. Legyen $z=-2-j$, $w=3+4j$. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét!
   
   $$(\mathrm{a})\quad z^2\,w,\qquad (\mathrm{b})\quad \frac{w}{z... ...(z+1)^{15},\qquad (\mathrm{f})\quad \sqrt[\displaystyle 4]{w}.$$
   
   

3. Tekintsük az alábbi komplex számokat: $z_1=12(\cos300^\circ+j\sin300^\circ)$, $z_2=-3-3j.$

   Add meg azokat az $u$, $v$ és $w$ komplex számokat algebrai és trigonometrikus alakban is, amelyekre
   

   $$u=\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{14},\qquad v=(z_1+2-3j)^8,\qquad w^3=z_2.$$
   
   

4. Oldd meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között! Az eredményt algebrai és trigonometrikus alakban is add meg és ábrázold a komplex számsíkon!
   
   $$(\mathrm{a})\quad z^2+2j\,z+8=0,\qquad (\mathrm{b})\quad z^4... ...aystyle 6(\cos105^\circ+j\sin105^\circ)}{\displaystyle z^2}=0.$$
   
   

5. Határozd meg azt a $z$ komplex számot, melyre $\arg(z)=\frac{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}$ és $z^{12}=(1+j){\overline {z}}^7$?
6. Mely komplex számokra egyenértékû
   
   $$\mbox{(a) a konjugálás és a négyzetreemelés};\quad \mbox{(b)... ...;\quad \mbox{(c) a négyzetreemelés és a $j$-vel való szorzás}?$$
   
   

7. Hány megoldása van az alábbi egyenleteknek a valós, illetve a komplex számok között?
   
   $$(\mathrm{a})\quad z^2+1=0,\qquad (\mathrm{b})\quad z\,\overl... ...ine {z}}=1,\qquad (\mathrm{f})\quad \frac{z}{\overline {z}}=2.$$
   
   

Horváth Zoltán