> restart;
# 1. feladat megoldása
> with(plots):
> f:=(1+exp(-x))/(ln(x)-2);

                                1 + exp(-x)
                           f := -----------
                                 ln(x) - 2

> g:=x+1;

                              g := x + 1

> pf:=plot(f, x=0..10, -10..10, color=red):
> pg:=plot(g, x=0..10, -10..10, color=green):
> display({pf,pg});

# Az ábráról az olvasható le (a metszéspontokra való kattintás után a
# bal felsö sarokban lévö
# ablakról), hogy  f(x)>g(x), ha kb. 7.4<x<8.3.
> 
> fvv:=diff(f,x,x):
> integral:=int(f*(x+fvv)^2, x=8..10);

                 10
                /
               |                     3      3      3      2
  integral :=  |    ((1 + exp(-x)) (x  ln(x)  - 6 x  ln(x)
               |
              /
                8

               3            3            2      2
         + 12 x  ln(x) - 8 x  + exp(-x) x  ln(x)

                      2                    2
         - 4 exp(-x) x  ln(x) + 4 exp(-x) x  + 2 exp(-x) x ln(x)

                                               2    /
         - 4 exp(-x) x + ln(x) + exp(-x) ln(x)) )  /  (
                                                  /

                   7  4
        (ln(x) - 2)  x ) dx

> evalf(integral);

                             9100.101488

# Tehát a keresett integrál közelítö értéke: 9100.10 .
> 
# 2. feladat megoldása
> g:=(x^3+y)*exp(-x^2-y^2);

                            3            2    2
                     g := (x  + y) exp(-x  - y )

> plot3d(g, x=-10..10, y=-10..10, axes=boxed, shading=zhue,
> style=patchcontour);

# Ezután szükítjük a tartományt:
> plot3d(g, x=-2..2, y=-2..2, axes=boxed, shading=zhue,
> style=patchcontour);

# A szintvonalakból az látszik, hogy nyeregpont a (0.5, 0.5), illetve
# (-0.5, -0.5) közelében van.
# Ezeket kipróbálva és folyamatosan finomítva::
> plot3d(g, x=0.4..0.7, y=0.6..0.7, axes=boxed, shading=zhue,
> style=patchcontour);

> plot3d(g, x=-0.7..-0.4, y=-0.66..-0.6, axes=boxed, shading=zhue,
> style=patchcontour);

# 2.b) 
> gxy:=diff(g,x,y);

             2         2    2              2    2
  gxy := -6 x  y exp(-x  - y ) - 2 x exp(-x  - y )

               3                2    2
         + 4 (x  + y) x y exp(-x  - y )

# A keresett parciális derivált:
> evalf(subs(x=-2, y=3, gxy));

                            .0001175371292

# 3. feladat
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A:=matrix( [ [1,2,3], [-1,-1,4], [2,0,1] ] );

                              [ 1     2    3]
                              [             ]
                         A := [-1    -1    4]
                              [             ]
                              [ 2     0    1]

> b:=vector( [1,2,3] );

                            b := [1, 2, 3]

> evalm(inverse(A) &* b);

                            [28  -22  13]
                            [--, ---, --]
                            [23  23   23]

# Tehát az elsö egyenletrendszer megoldása: x=28/23, y=-22/23, z=13/23.
# A második rész megoldása:
> b_uj:=vector( [1,2,a] );

                          b_uj := [1, 2, a]

> mego:=evalm(inverse(A) &* b_uj);

                 [        11                    10         ]
         mego := [-5/23 + -- a, -1/23 - 7/23 a, -- + 1/23 a]
                 [        23                    23         ]

> z:=mego[3];

                                10
                           z := -- + 1/23 a
                                23

> solve(z=0, a);

                                 -10

# Így az egyenletrendszernek z=0 megoldása csak a=-10 esetén lesz.
# 4. feladat megoldása
> de:=0.01*diff(q(t),t)+q(t)/0.1=t*exp(-t);

                        /d      \
              de := .01 |-- q(t)| + 10. q(t) = t exp(-t)
                        \dt     /

> mo:=dsolve({de,q(0)=10}, q(t));

  mo := q(t) = .1001001001 t exp(-1. t) - .0001002003004 exp(-1. t)

         + 10.00010020 exp(-1000. t)

> q_megoldas:=rhs(mo);

  q_megoldas := .1001001001 t exp(-1. t) - .0001002003004 exp(-1. t)

         + 10.00010020 exp(-1000. t)

> plot(q_megoldas, t=0..0.1);

# q maximumát t=0-ban veszi fel, ami 10.