VEKTOROK
- néhány válogatott feladat korábbi zéhákból -

  1. Legyen A(1,2,3), B(2,1,-3), C(0,1,4) és D(-1,1,2).
    Igazold, hogy a fenti négy pont nincs egy síkon és számítsd ki az általuk meghatározott tetraéder térfogatát!
  2. Tekintsük az A(1,0,-2), B(-4,5,2), C(-2,3,1), D(3,-1,1) pontokat.
    Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely átmegy a D ponton, merôleges az tex2html_wrap_inline76 egyenesre és párhuzamos az tex2html_wrap_inline68 síkkal!
  3. Tekintsük az A(1,2,3), B(0,-5,5), C(3,-1,2), D(4,1,2) pontokat.
    Határozd meg D távolságát az tex2html_wrap_inline68 síktól, továbbá az tex2html_wrap_inline76 és tex2html_wrap_inline78 egyenesek által bezárt szöget!
  4. Legyen tex2html_wrap_inline92 a 6x-7y+8z=9 egyenletû sík, továbbá e az tex2html_wrap_inline86 egyenletrendszerû egyenes.
    Add meg annak az S síknak az egyenletét, amely tartalmazza e-t és merôleges tex2html_wrap_inline92 -re!
  5. Legyen A(1,2,3), B(6,-4,1), C(2,-1,4) és D(5,5,3).
    Bizonyítsd be, hogy a fenti négy pont tetraédert határoz meg, majd számítsd ki az AD él és az tex2html_wrap_inline68 sík szögét!
  6. Legyen e az tex2html_wrap_inline108 egyenletrendszerû egyenes, továbbá A(1,2,3), B(2,2,0).
    Add meg annak az S síknak az egyenletét, amely párhuzamos e-vel és tartalmazza A-t és B-t is!
  7. Legyen A(2,3,0), B(-1,1,3) és C(4,2,1).
    Bizonyítsd be, hogy a fenti három pont nincs egy egyenesen és számítsd ki az általuk meghatározott háromszög területét!
  8. Legyen P(2,3,0), továbbá tex2html_wrap_inline92 a 2x-y+z=2 egyenletû sík és tex2html_wrap_inline148 a 2x=-y=z egyenletrendszerû egyenes.
    1. Írd fel a P-n átmenô, tex2html_wrap_inline148 -gyel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
    2. Milyen messze van P attól az S síktól, amely merôleges tex2html_wrap_inline92 -re és tartalmazza tex2html_wrap_inline148 -et!
  9. Legyen A(4,-2,1), B(1,2,3).
    1. Írd fel az A pontra és az x-tengelyre illeszkedô sík egyenletét!
    2. Milyen messze van B a fenti síktól?
  10. Legyen tex2html_wrap_inline148 az x-4=y-5=z-6 és tex2html_wrap_inline164 az tex2html_wrap_inline166 egyenletû egyenesek.
    1. Bizonyítsd be, hogy a két egyenes metszi egymást és írd fel a mindkettôre illeszkedô sík egyenletét!
    2. Mekkora szögben metszi ez a sík a z-tengelyt?
  11. Legyen tex2html_wrap_inline92 a 2x+y-z=3 és tex2html_wrap_inline186 az 5x+2y-z=4 egyenlettel megadott sík.
    1. Írd fel tex2html_wrap_inline92 és tex2html_wrap_inline186 metszésvonalának egyenletét!
    2. Milyen messze van az origó a metszésvonaltól?
  12. Legyen tex2html_wrap_inline92 a 4x-z=-3 és tex2html_wrap_inline186 a 3x+y+z=5 egyenlettel megadott sík.
    1. Írd fel annak az S síknak az egyenletét, amely merôleges tex2html_wrap_inline92 -re és tex2html_wrap_inline186 -re is és átmegy az origón!
    2. Milyen messze van a P(1,2,3) pont S-tôl?
  13. Legyen A(-7,6,1), B(-6,6,1), P(2,3,-1), továbbá S a 4x-y+2z=3 egyenletû sík.
    1. Bizonyítsd be, hogy P rajta van S-en és tex2html_wrap_inline76 párhuzamos S-sel!
    2. Írd fel annak a P-n átmenô, S-ben haladó e egyenes paraméteres egyenletrendszerét, amely merôleges tex2html_wrap_inline76 -re!
    3. Milyen messze van A e-tôl?
  14. Legyen A(-2,6,-1), B(-6,0,1), C(0,3,1) és D(2,2,1).
    1. Bizonyítsd be, hogy a fenti négy pont nincs egy síkon! Mennyi az általuk meghatározott tetraéder térfogata?
    2. Írd fel annak a C-n és D-n is átmenô S sík egyenletét, amely párhuzamos tex2html_wrap_inline76 -vel!
    3. Mekkora szöget zár be S és tex2html_wrap_inline248 ?
  15. Legyen A(1,2,3), B(1,4,-2) és C(0,6,-3).
    1. Számítsd ki az ABC háromszög területét és az A-nál lévô szögét!
    2. Írd fel annak az S síknak az egyenletét, amely illeszkedik A-ra és párhuzamos tex2html_wrap_inline264 -vel és az x-tengellyel!

Horvath Zoltan
Mon Oct 14 11:58:16 MET DST 1996