Az integráló tényező   Láthattuk, hogy egy egzakt egyenlet megoldásának felírása viszonylag egyszerű. Mit tegyünk akkor, amikor azt tapasztaljuk, hogy a (57)-ból származó (58) egyenlet nem egzakt? Szorozzuk be (57) mindkét oldalát egy (egyelőre ismeretlen) p=p(x1,x2) függvény felhasználásával p(x,y(x))-szel és próbáljuk p-t úgy megválasztani, hogy az előálló   $$p(x,y(x))g(x,y(x))+p(x,y(x))h(x,y(x)){y}^\prime(x)=0$$ (61) egyenlet már egzakt legyen! Definíció.   Az olyan p függvényt, amelyre (75) egzakt, integráló tényezőnek nevezzük.   Előző tételünket alkalmazva azt kapjuk, hogy (75) pontosan akkor lesz egzakt, ha p kielégíti a   $$\frac{\partial(p g)}{\partial x_2}=\frac{\partial(p h)}{\partial x_1}$$ (62) parciális differenciálegyenletet. Ebben elvégezve a kijelölt deriválásokat és rendezve az alábbi egyenletet kapjuk:   $$h\frac{\partial p}{\partial x_1}-g\frac{\partial p}{\partial... ...artial g}{\partial x_2}-\frac{\partial h}{\partial x_1}\right).$$ (63) Ennek elég általános feltételek mellett létezik megoldása, de meghatározása rendszerint bonyolultabb, mint az eredeti (58) megoldása. Ezért azt lehet tenni, hogy csak függvényeknek egy szűkebb osztályában keressük a parciális differenciálegyenlet egy megoldását, olyan függvényosztályban, amely ha tartalmaz megoldást, akkor azt kis fáradsággal elő tudjuk állítani. Persze, a leszűkített függvényosztályban nem feltétlenül lesz megoldása (77)-nek; ilyenkor más függvények között kell keresnünk integráló tényezőt. Első kísérletképpen próbáljuk p=p(x1,x2)-t azon kétváltozós függvények között keresni, amelyeknél p nem függ a második argumentumtól, x2-től, azaz p=p(x1). Ez azért okoz könnyebséget az integráló tényező kiszámításánál, mert ilyen p-re a (77) egyenlet csak közönséges differenciálegyenlet (hiszen $\frac{\displaystyle\partial p}{\displaystyle\partial x_2}=0$, lévén p független x2-től). Valóban, bevezetve az   $$r=\frac{\partial g}{\partial x_2}-\frac{\partial h}{\partial x_1}$$ (64) jelölést a megoldandó (77) egyenlet az alábbi alakban írható: $$h(x_1,x_2){p}^\prime(x_1)=p(x_1)r(x_1,x_2),$$ vagy átrendezve   $$\frac{{p}^\prime(x_1)}{p(x_1)}=\frac{r(x_1,x_2)}{h(x_1,x_2)}.$$ (65) Minthogy (79) bal oldala csak x1-től függ, ezért szükséges, hogy a jobb oldal is csak x1-től függjön. Ha ez teljesül, akkor az egyenlet megoldása már egyszerűen felírható: integrálva (79) mindkét oldalát x1 szerint p-re az $$\ln\vert p(x_1)\vert=\int\frac{r(x_1,x_2)}{h(x_1,x_2)}\,dx_1$$ összefüggést nyerjük, amelynek pl. a   $$p(x_1)=\exp\left(\int\frac{r(x_1,x_2)}{h(x_1,x_2)}\,dx_1\right)$$ (66) függvény eleget tesz. Így bebizonyítottuk az alábbi tételt. Tétel.   Ahhoz, hogy (58)-nek létezzen csak x1-től függő p integráló tényezője szükséges és elégséges, hogy   $$\frac{1}{h}\left(\frac{\partial g}{\partial x_2}-\frac{\partial h}{\partial x_1}\right)$$ (67) csak x1-től függjön. Amennyiben ez teljesül, úgy egy integráló tényező felírható a (80) alatti alakban, ahol r-et (78) definiálja.    Teljesen ugyanígy kaphatunk feltételt csak x2-től függő integráló tényező létezésére. Tétel.   Ahhoz, hogy (58)-nek létezzen csak x2-től függő p integráló tényezője szükséges és elégséges, hogy   $$\frac{1}{g}\left(\frac{\partial g}{\partial x_2}-\frac{\partial h}{\partial x_1}\right)$$ (68) csak x2-től függjön. Amennyiben (82) teljesül, úgy az integráló tényező felírható a   $$p(x_2)=\exp\left(-\int\frac{r(x_1,x_2)}{g(x_1,x_2)}\,dx_2\right)$$ (69) alakban, ahol r-et (78) definiálja.    Felhívjuk a figyelmet a (80) és a (83) egyenletek jobb oldalán szereplő integrandusok azon eltérésére, hogy az utóbbi képlete egy mínusz előjelet tartalmaz. Ez onnan jön be, hogy (83) (80)-ból úgy kapható meg, hogy ez utóbbiban a g és h függvényeket, valamint az x1 és x2 változókat felcseréljük; márpedig ennél a cserénél r éppen (-1)-szeresére változik.     5-4. kidolgozott feladat. Tekintsük az   $$(x+y)+\left(x+(x+y)^2\right){y}^\prime=0$$ (70) differenciálegyenletet. a) Adjunk meg egy integráló tényezőt (84)-hez! b) Írjuk fel és oldjuk meg az előző pontban kapott integráló tényezőnek megfelelő egzakt differenciálegyenletet! Megoldás: Az előző tételekben szereplő elnevezéseket használjuk, így $$g=x+y,\qquad h=x+(x+y)^2.$$ a) Számítsuk ki az (78)-ben bevezetett r-et! $$r=\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial h}{\partial x}=1-(1+2(x+y))=-2(x+y).$$ Ebből az alakból látható, hogy $\frac{\displaystyle r}{\displaystyle g}=-2$ független x-től, ezért (83)-nek megfelelően az $$\exp\left(-\int-2\,dy\right)=Ce^{2y}$$ függvények integráló tényezői (84)-nek, így, például, p(y)=e2y integráló tényezője (84)-nek. b) A p-nek megfelelő egzakt differenciálegyenlet:   $$e^{2y}(x+y)+e^{2y}\left(x+(x+y)^2\right){y}^\prime=0.$$ (71) Keressük (85)-hez a már megszokott módon F-et! Látható, hogy $$c_1(y)=\left(\frac{-y}{2}+\frac14\right)e^{2y},\qquad c_2(x)=0$$ megfelelő választás, így a differenciálegyenlet megoldásai (implicit alakban): $$(F(x,y)=)\quad\left(\frac{(x+y)^2-y}{2}+\frac14\right)e^{2y}=k,\qquad k\in{\rm I\! R}.$$   5-5. kidolgozott feladat. Adjunk meg egy integráló tényezőt az $$(x^2-\sin^2(y))+x\sin(2y){y}^\prime=0$$ differenciálegyenlethez! Megoldás: Használva az (78) alatti jelölést $$r=\frac{\partial}{\partial y}(x^2-\sin^2(y))-\frac{\partial}{\partial x}(x\sin(2y))=-2\sin(y)\cos(y)-\sin(2y)=-2\sin(2y),$$ ezért $$\frac{\displaystyle r}{\displaystyle h}=\frac{\displaystyle-2\sin(2y)}{x\sin{2y}}=-\frac2x.$$ Ez független y-tól, ezért egy integráló tényezőt megkaphatunk (80)-ből: $$p(x)=\exp\left(\int-\frac2x\,dx\right)=e^{-\ln(x^2)}=\frac{1}{x^2}.$$

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával