A homogén egyenlet bázisa Tekintsük a (88)-hoz tartozó   $${y}^{\prime\prime}+p{y}^\prime+q y=0\qquad\qquad p,q\in {\rm I\! R}$$ (75) homogén egyenletet. Milyen alakban keressük a bázisfüggvényeket? Az elsőrendű, lineáris $${y}^\prime+py=0$$ egyenlet megoldása y(x)=ce-px alakban adható meg, amint arról (50) felhasználásával könnyű meggyőződni. Jobb ötlet híján probáljuk meg, hátha a hasonló   $$y(x)=e^{\lambda x}$$ (76) exponenciális függvény valamilyen $\lambda$-val megoldása lesz a másodrendű, homogén, lineáris egyenletnek is. Helyettesítsük be a (90) alatti y függvényt (89)-be és vizsgáljuk meg, milyen feltétel származik -ra ahhoz, hogy $y=e^{\lambda x}$ megoldás legyen! Minthogy $e^{\lambda x}\ne0$, ezért ez utóbbi egyenlet csak úgy állhat fenn, ha   $$\lambda^2 +p\lambda+q = 0.$$ (77) Így $e^{\lambda x}$ pontosan akkor lesz megoldása a homogén (89) egyenletnek, ha gyöke a (91) egyenletnek. Definíció. A (91) egyenletet a (89) differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük.   A bázis keresésében aszerint kell eseteket szétválasztanunk, hogy a karakterisztikus egyenletnek milyen típusúak a gyökei: két különböző valós, egy (kétszeres) valós, vagy komplex gyökei vannak-e. Ezek rendre aszerint fordulnak elő, hogy a karakterisztikus egyenlet diszkriminánsa, D=p2-4q pozitív, nulla, vagy negatív. a) D>0 A két valós gyök, $\lambda_1=-p/2+\sqrt{D}/2$ és $\lambda_2=-p/2-\sqrt{D}/2$ felhasználásával a homogén egyenlet két gyöke   $$y_1=e^{\lambda_1 x} \qquad\mbox{{és}}\qquad y_2=e^{\lambda_2 x}.$$ (78) Ezek egymásnak nem konstansszorosai, hiszen hányadosuk, y1/y2=e-px nem állandó. Ezért a (92) alatti függvények bázist alkotnak, így (89) általános megoldása $$y=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}.$$ b) D=0 Egy (kétszeres) valós gyök van: $\lambda_1(=\lambda_2)=-p/2$. Így a bázishoz még csak egy függvényünk van, $$y_1=e^{\lambda_1 x}.$$ Másikat a rendcsökkentés módszerével találhatunk, amelyet a 63. oldalon már megemlítettünk: keressük y2-t y2(x)=u(x)y1(x) alakban! Behelyettesítve ezt a kifejezést (89)-be az alábbi azonos átalakításokhoz jutunk. Az utolsó egyenlet mindkét zárójelében lévő kifejezés értéke 0. Valóban, az első azért, mert y1 gyöke a homogén egyenletnek, a második azért, mert y1, majd $\lambda_1$ konkrét értékét beírva $$py_1+2{y}^\prime_1=pe^{\lambda_1 x}+2\lambda_1 e^{\lambda_1 x}=(p+2(-p/2))e^{-\lambda_1 x}=0.$$ Így u-ra vonatkozó egyenletünk végülis az $y_1{u}^{\prime\prime}=0$ alakot ölti. $y_1=e^{\lambda_1 x}\ne0$, ezért innen az $${u}^{\prime\prime}=0$$ egyenlethez jutunk. Ennek például az u(x)=x függvény megoldása (elég csak egyet felírnunk), így y2-re, (89) egy másik megoldására az $$y_2=uy_1=xe^{\lambda_1 x}$$ formulát nyerjük. Világos, hogy $y_1=e^{\lambda_1 x}$ és a most kapott y2 egymásnak nem konstansszorosa (hiszen hányadosuk, y2/y1=x nem állandó), ezért e két függvény, $$y_1=e^{-px/2}\qquad\mbox{{ és }}\qquad y_2=xe^{-px/2}$$ bázist alkot. Így (89) általános megoldása az y=c1e-px/2+c2xe-px/2=(c1+c2x)e-px/2 alakban adható meg. c) D<0 A karakterisztikus egyenlet két gyöke most nem valós, konjugált komplex számok. Jelöljük valós részét $\alpha$-val, képzetes részét $\omega$-val, azaz $\alpha=-p/2$,$\omega=\sqrt{-D}/2$. Így $\lambda_1=\alpha+\omega i$, $\lambda_2=\alpha-\omega i$. Mit értsünk most azon, hogy a homogén (89) egyenletnek $e^{\lambda_1x}$és $e^{\lambda_2x}$ a megoldása? Ezek a valós számok halmazán értelmezett komplex értékű függvények. Ilyen függvények deriválása ugyanúgy értelmezhető, mint a valós függvényeké, és a deriválás tulajdonságai is megmaradnak. Ezek biztosítják, hogy a fenti két függvény valóban megoldása lesz a differenciálegyenletnek. A komplex függvények helyett próbáljunk valós megoldásokat találni! Ehhez végezzük el az alábbi átalakításokat. $$e^{\lambda_1 x}=e^{(\alpha+\omega i)x}=e^{\alpha x}e^{i\omega x}=e^{\alpha x}\left(\cos(\omega x) + i\sin(\omega x)\right).$$ (Az utolsó lépésnél felhasználtuk a komplex számokra vonatkozó Euler-formulát.) Ha egy függvény megoldása a valós együtthatós (89) differenciálegyenletnek, akkor valós és képzetes része is kielégíti azt. Így az $$y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\omega x)\qquad\mbox{{és}}\qquad y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\omega x)$$ függvények megoldásai a homogén egyenletnek. Mivel az előző bekezdésben több olyan állításra is hivatkoztunk, amit nem bizonyítottunk, ezért behelyettesítéssel meg kell győződnünk arról, hogy valóban megoldásokat találtunk. hiszen mindkét zárójeles szorzótényező értéke 0: $$\alpha^2-\omega^2+p\alpha+q=p^2/4-(4q-p^2)/4-p^2+q=0$$ és $$-2\alpha\omega-p\omega=\omega(-2(-p/2)-p)=0.$$ Ezzel beláttuk, hogy y1 valóban megoldása (89)-nak. Az y2-re vonatkozó hasonló számítások elvégzését az olvasóra bízzuk. Mivel y1 és y2 hányadosa, ctg(x) nem állandó, ezért e két függvény bázist is alkot. Így (89) általános megoldására az $$y=c_1e^{\alpha x}\cos(\omega x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\omega x)= e^{\alpha x}\left(c_1\cos(\omega x)+c_2\sin(\omega x)\right)$$ formulát írhatjuk.   Mielőtt továbbmennénk, összefoglaljuk a homogén, állandó együttható s differenciálegyenletek megoldásairól kapott eredményeinket. Feladat: felírandó az   differenciálegyenlet általános megoldása. Megoldás: az (93)-nak megfelelő karakterisztikus egyenlet,   $$\lambda^2 +p\lambda+q = 0$$ (80) két gyöke legyen és $\lambda_2$. Ha e két gyök valós és különböző, akkor az általános megoldás Ha $\lambda_1=\lambda_2$, akkor az általános megoldás y=(c1+c2x)e-px/2. Ha és nem valós, akkor az általános megoldás $$y=e^{\alpha x}\left(c_1\cos(\omega x)+c_2\sin(\omega x)\right),$$ ahol , $\omega=\sqrt{4q-p^2}/2$.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával