Egy közelítő eljárás   Az eddigi fejezetekből az látszik, hogy differenciálegyenletek megoldását csak eléggé speciális (de azért a feladatok meglehetősen széles osztályát magába foglaló) esetekben írhatjuk fel véges formula segítségével. Például a 2. fejezetben mutatott differenciálegyenletre bebizonyították, hogy a megoldásra nem is adható véges, zárt formula, bár maga az egyenlet igen egyszerűnek tűnik, lévén a jobb oldal másodfokú polinom. Ha a pontos megoldást nem is ismerjük, azért a differenciálegyenlet vizsgálatából általában sok információ nyerhető a megoldásra nézve. Például, az előző differenciálegyenlethez tartozó tetszőleges kezdetiérték-feladatnak egyértelmű megoldása van (ezt tudjuk az unicitási tételből) és ez a megoldás monoton növekedő. Ez utóbbi tulajdonság onnan következik, hogy a megoldás deriváltja, x2+y2 minden x-re nemnegatív. (Gyakorlásképpen bizonyítsa be az olvasó, hogy az y(0)=0 kezdeti feltételhez tartozó megoldásnak egyetlen inflexiós pontja van csak, a 0.) Általában azonban nem elegendő a megoldás pusztán kvalitatív, azaz csak minőségi tulajdonságokra (mint pl. monotonitásra) szorítkozó vizsgálata, hanem meg kell határoznunk a megoldás néhány, vagy akár az értelmezési tartományának minden pontjában felvett értékét (például, ha feladatunk egy fizikai jelenség matematikai modellje és az ismeretlen fizikai mennyiség számszerű értékére van szükség). Erre akkor nehezebb válaszolni, ha a megoldás - mint a fenti estben is - nem írható fel képlet segítségével . Ekkor be kell érnünk a pontos megoldás valamilyen közelítésével. A feladat kitűzéséből, illetve az esetlegesen háttérben lévő fizikai feladatból tudhatjuk, hogy milyen értelemben kell a közelséget értelmezni. Leggyakrabban az y pontos és az közelítő megoldás különbségének abszolút értékét, illetve ha több pontban keressük a megoldást, akkor ezen abszolút értékek maximumát szokták használni a hiba mérésére. Magát az $y-\tilde{y}$ különbséget nem ismerjük, mert ellenkező esetben ezt -hoz hozzáadva mégiscsak megkapnánk a pontos megoldást. Tehát ha a pontos megoldást nem tudjuk felírni, akkor a közelítő megoldások hibájára is csak becslést adhatunk. Ez azonban szükséges, hiszen ha megadunk egy függvényt és azt mondjuk, hogy ez a feladat közelítő megoldása, akkor fontos, hogy legyen fogalmunk az elkövetett hiba nagyságáról, hiszen ennek hiányában egy függvény semmi információt nem hordoz a pontos megoldásra. Azonban a hiba nem túl durva becslése általában nehéz, így gyakran megelégszünk valamilyen nagyságrendi becsléssel is. Egy elég általános, elsőrendű kezdetiérték-feladatok közelítő megoldásának hibájára vonatkozó becslés található a 4.2 alfejezetben.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával