|
Most bizonyítás nélkül
ismertetünk egy tételt, amely segítségünkre lehet tetszőleges közelítő
megoldás, így a hatványsor-módszerrel kapott Taylor-polinom hibájának
megbecslésében is.
Tétel. Tekintsük az
kezdetiérték-feladatot és legyen olyan tartomány, amelyen f folytonos
és

továbbá .
Ha z olyan függvény, melynek értelmezési tartománya tartalmazza az I
intervallumot, grafikonjának I feletti része D-ben halad (azaz
) és létezik hozzá
, hogy
egyaránt teljesül, akkor
|  |
(107) |
esetén (123) (D-ben egyértelmű) y megoldására és a
z közelítésre érvényes az
|  |
(108) |
becslés minden pontban.
Nézzünk meg egy példát a tétel alkalmazására!
2-1. kidolgozott feladat.
A 4.1-1. kidolgozott feladatban már vizsgáltuk az
kezdetiérték-feladatot és ott a pontos y megoldás közelítésére a
polinomot kaptuk.
Becsüljük meg T4 legnagyobb eltérését y-tól a
[-0.4,0.4] intervallumon!
Megoldás:
Feladatunkban a tételbeli jelöléseknek

felel meg.
D megválasztása lenne a következő lépés. Ebben két
különböző érdek játszik szerepet: egyrészt D-t minél
kisebbre kell választanunk, hogy
maximumára minél kisebb L becslés jöjjön ki, ami azért fontos, mert a
(125) alatti hibabecslés, azaz a jobb oldal L növekedtével
rohamosan, exponenciálisan nő. Másrészt, D-t elég nagyra kell
választani, hogy (124) is teljesüljön és ezt annál
könnyebb elérni, minél nagyobb D.
Legyen most

Ekkor világos, hogy a (124) feltétel teljesül, hiszen D
, ,y-irányban végtelen''. Nézzük meg, nem kapunk-e túl nagy
számot emiatt L-re.

ezért L=1 jó választás. Azt is látjuk, hogy ebben a feladatban
nem okozott rosszabb becslést D-re az, hogy D-t y-irányban túl
nagyra választottuk, mert most nem függött
y-tól.
Keressünk megfelelő -et és -t! Mivel
z(0)-y(0)=0, ezért jó választás. Továbbá

és mivel az x5 függvény monoton növő -en, így
legnagyobb értékét éppen a végpontjában veszi fel, ezért
megfelelő választás.
Így (125)-nek megfelelően

Az xex függvény a nemnegatív félegyenesen szigorúan növekvő,
ezért

azaz a legnagyobb hiba kisebb, mint 0.0258.
|