Lineáris egyenletek Ebben a pontban az   $${y}^{\prime\prime}+p(x){y}^\prime+q(x)y=r(x)$$ (72) differenciálegyenlet megoldásával foglalkozunk. Ha $r(x)\not\equiv0$, akkor az egyenletet inhomogénnek, különben homogénnek nevezzük. A (86) megoldásához célszerű tanulmányozni a neki megfelelő   $${y}^{\prime\prime}+p(x){y}^\prime+q(x)y=0$$ (73) homogén egyenletet. Először bebizonyítunk két fontos tételt, amelyek az inhomogén és a neki megfelelő homogén egyenlet megoldásai között létesít kapcsolatot. Tétel. Legyen yinh az inhomogén (86) és yhom a homogén (87) egyenlet megoldása. Ekkor az y=yinh+yhom függvény megoldása az inhomogén egyenletnek. Bizonyítás. Helyettesítsük be a tételben definiált y függvényt (86) bal oldalába; elég megmutatnunk, hogy eredményül r(x), (86) jobb oldala jön ki. Itt az összeg első tagja r(x) (mert yinh megoldása az inhomogén egyenletnek), a második 0 (mert yhom megoldása az homogén egyenletnek), ezért az összeg valóban r(x).   Tétel. Legyen yinh az inhomogén egyenlet egy tetszőleges megoldása. Ekkor az inhomogén egyenlet minden y megoldásához létezik yhom megoldása a homogén egyenletnek, mellyel y=yinh+yhom. Bizonyítás. Azt kell bebizonyítani, hogy az y-yinh függvény megoldása a homogén egyenletnek. Helyettesítsük be ezt a függvényt (87) bal oldalába; eredményül 0-t kell kapnunk.    Tehát azt mondhatjuk, hogy a bennünket érdeklő inhomogén egyenlet összes megoldása előállítható az inhomogén egyenlet egy tetszés szerinti megoldásának és a homogén egyenlet egy alkalmas megoldásának az összege alakjában, továbbá minden ilyen alakú összeg megoldása az inhomogén egyenletnek. Ezért a (86) inhomogén egyenlet összes megoldásának felírásához elegendő megtalálnunk az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását és a homogén egyenlet összes megoldását. Homogén egyenletekkel a következő fejezetben foglalkozunk, míg egy partikuláris megoldás megkeresésére állandó együtthatós esetben a határozatlan együtthatók módszerét ismertetjük (egy későbbi alfejezetben), nem állandó együtthatók esetén pl. a homogén egyenlet megoldásának ismeretében kaphatunk egyet, nem túl egyszerű képlet segítségével.

Dr. Horváth Zoltán:Bevezetés a differenciálegyenletek megoldásábaKészült a SZIF-MML-rendszer felhasználásával